由一些不同实数组成的有限集 $S$ 满足如下性质：$S\bigcup \left\{ 1 \right\}$ 中所有元素的平均数比 $S$ 中所有元素的平均数小13，$S\bigcup \left\{ 2001 \right\}$ 中所有元素的平均数比 $S$ 中所有元素的平均数大27，求 $S$ 中所有元素的平均数．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
651
【解析】
设含有 $n$ 个元素的集合 $S$ 中所有元素的平均值是 $x$．显然1和2001都不属于 $S$，故
$\frac{nx+1}{n+1}=x-13$，$\frac{nx+2001}{n+1}=x+27$，
即 $nx+1=\left( n+1\right)x-13\left( n+1 \right)$，$nx+2001=\left( n+1 \right)x+27\left( n+1 \right)$．
二者相减得 $2000=40\left(n+1 \right)$，故 $n=49$．因此 $x=651$．
$\frac{nx+1}{n+1}=x-13$，$\frac{nx+2001}{n+1}=x+27$，
即 $nx+1=\left( n+1\right)x-13\left( n+1 \right)$，$nx+2001=\left( n+1 \right)x+27\left( n+1 \right)$．
二者相减得 $2000=40\left(n+1 \right)$，故 $n=49$．因此 $x=651$．
答案
解析
备注
