如果把一个十进制数 $N$ 写成七进制，再用十进制读出来，其结果是 $N$ 的2倍，就把 $N$ 叫做7-10双倍数．例如，51是7-10双倍数，因为它写成七进制时为102，在十进制下读出来的结果恰为 $51$ 的2倍．求最大的7-10双倍数．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
315
【解析】
假设 ${{a}_{k}}{{7}^{k}}+{{a}_{k-1}}{{7}^{k-1}}+\cdots+{{a}_{2}}{{7}^{2}}+{{a}_{1}}7+{{a}_{0}}$ 是一个7-10双倍数，其中 ${{a}_{k}}\ne 0$．
由条件知 ${{a}_{k}}{{10}^{k}}+{{a}_{k-1}}{{10}^{k-1}}+\cdots+{{a}_{2}}{{10}^{2}}+{{a}_{1}}10+{{a}_{0}}$ 是上式的2倍．因此
${{a}_{k}}\left({{10}^{k}}-2\cdot {{7}^{k}} \right)+{{a}_{k-1}}\left( {{10}^{k-1}}-2\cdot{{7}^{k-1}} \right)+\cdots +{{a}_{2}}\left( {{10}^{2}}-2\cdot {{7}^{2}}\right)+{{a}_{1}}\left( 10-2\cdot 7 \right)+{{a}_{0}}\left( 1-2 \right)=0$．
因为在上式中只有当 $i=0$，$i=1$ 时，${{a}_{i}}$ 的系数为负，其他的都不为负，故 $k$ 至少为2．当 $i>2$ 时，${{a}_{i}}$ 的系数至少是314，考虑 $\left|{{a}_{1}}\left( 10-2\times 7 \right)+{{a}_{0}}\left( 1-2 \right) \right|\le6\times \left( 4+1 \right)<314$，故 ${{a}_{i}}=0$，因此 $k=2$，故 $2{{a}_{2}}=4{{a}_{1}}+{{a}_{0}}$．为了得到最大的7-10双倍数，尝试当 ${{a}_{2}}=6$ 时方程是否有解．从方程 $12=4{{a}_{1}}+{{a}_{0}}$ 中得到使 ${{a}_{1}}$ 的最大值的解为 ${{a}_{1}}=3$，${{a}_{0}}=0$．因此最大的7-10双倍数是 $6\cdot49+3\cdot 7=315$．
由条件知 ${{a}_{k}}{{10}^{k}}+{{a}_{k-1}}{{10}^{k-1}}+\cdots+{{a}_{2}}{{10}^{2}}+{{a}_{1}}10+{{a}_{0}}$ 是上式的2倍．因此
${{a}_{k}}\left({{10}^{k}}-2\cdot {{7}^{k}} \right)+{{a}_{k-1}}\left( {{10}^{k-1}}-2\cdot{{7}^{k-1}} \right)+\cdots +{{a}_{2}}\left( {{10}^{2}}-2\cdot {{7}^{2}}\right)+{{a}_{1}}\left( 10-2\cdot 7 \right)+{{a}_{0}}\left( 1-2 \right)=0$．
因为在上式中只有当 $i=0$，$i=1$ 时，${{a}_{i}}$ 的系数为负，其他的都不为负，故 $k$ 至少为2．当 $i>2$ 时，${{a}_{i}}$ 的系数至少是314，考虑 $\left|{{a}_{1}}\left( 10-2\times 7 \right)+{{a}_{0}}\left( 1-2 \right) \right|\le6\times \left( 4+1 \right)<314$，故 ${{a}_{i}}=0$，因此 $k=2$，故 $2{{a}_{2}}=4{{a}_{1}}+{{a}_{0}}$．为了得到最大的7-10双倍数，尝试当 ${{a}_{2}}=6$ 时方程是否有解．从方程 $12=4{{a}_{1}}+{{a}_{0}}$ 中得到使 ${{a}_{1}}$ 的最大值的解为 ${{a}_{1}}=3$，${{a}_{0}}=0$．因此最大的7-10双倍数是 $6\cdot49+3\cdot 7=315$．
答案
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备注
