设 $S$ 为空间中坐标 $x$，$y$，$z$ 都是整数且满足 $0\leqslant x\leqslant 2$，$0\leqslant y\leqslant 3$，$0\leqslant z\leqslant 4$ 的所有点组成的点集．从 $S$ 中随机抽取两个不同点，设二者的中点仍在 $S$ 中的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
200
【解析】
因为共有 $3\cdot 4\cdot 5=60$ 个点可供选择，故有 $\text{C}_{60}^{2}=1770$ 种选择两点的不同方式．为了使选择的两点决定的中点也是一个格点（如果 $S$ 中的点的坐标 $x$，$y$，$z$ 都是整数，就称它们是格点），只需证明两点的坐标具有相同的奇偶性．注意到，
$2\cdot 2\cdot3=12$ 个点的坐标全为偶数；
$1\cdot 2\cdot2=4$ 个点的坐标全为奇数；
$1\cdot 2\cdot3=6$ 个点，只有坐标 $x$ 为奇数；
$2\cdot 2\cdot3=12$ 个点，只有坐标 $y$ 为奇数；
$2\cdot 2\cdot2=8$ 个点，只有坐标 $z$ 为奇数；
$2\cdot 2\cdot2=8$ 个点，只有坐标 $x$ 为偶数；
$1\cdot 2\cdot2=4$ 个点，只有坐标 $y$ 为偶数；
$1\cdot 2\cdot3=6$ 个点，只有坐标 $z$ 为偶数．
故满足题目条件的线段共有
$\frac{1}{2}\left(12\cdot 11+4\cdot 3+6\cdot 5+12\cdot 11+8\cdot 7+4\cdot 3+6\cdot 5 \right)=230$（条），
因此要求概率是 $\frac{230}{1770}=\frac{23}{177}$．故 $m+n=200$．
$2\cdot 2\cdot3=12$ 个点的坐标全为偶数；
$1\cdot 2\cdot2=4$ 个点的坐标全为奇数；
$1\cdot 2\cdot3=6$ 个点，只有坐标 $x$ 为奇数；
$2\cdot 2\cdot3=12$ 个点，只有坐标 $y$ 为奇数；
$2\cdot 2\cdot2=8$ 个点，只有坐标 $z$ 为奇数；
$2\cdot 2\cdot2=8$ 个点，只有坐标 $x$ 为偶数；
$1\cdot 2\cdot2=4$ 个点，只有坐标 $y$ 为偶数；
$1\cdot 2\cdot3=6$ 个点，只有坐标 $z$ 为偶数．
故满足题目条件的线段共有
$\frac{1}{2}\left(12\cdot 11+4\cdot 3+6\cdot 5+12\cdot 11+8\cdot 7+4\cdot 3+6\cdot 5 \right)=230$（条），
因此要求概率是 $\frac{230}{1770}=\frac{23}{177}$．故 $m+n=200$．
答案
解析
备注
