等腰梯形 $ABCD$ 的每个顶点的横纵坐标均为整数，点 $A$ 的坐标为 $\left( 20 ,100 \right)$，点 $D$ 的坐标为 $\left( 21 ,107 \right)$．这个梯形没有任何一条边平行于坐标轴，$AB$ 和 $CD$ 是两底．设边 $AB$ 的斜率的所有可能值之和的绝对值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
19
【解析】
显然 $AD$ 和 $BC$ 是梯形的两腰，故 $\left| BC \right|=\left| AD\right|=\sqrt{{{7}^{2}}+{{1}^{2}}}=5\sqrt{2}$．
设向量 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标为 $\left(x y \right)$，则我们有 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}=50$，且 $x$，$y$ 都是整数．由于50分解成两个完全平方数之和的方式只有 $50=1+49$ 和 $50=25+25$，故直线 $BC$ 的斜率只可能为 $\pm\frac{5}{5}$，$\pm \frac{7}{1}$，$\pm \frac{1}{7}$ 之一．
由于 $ABCD$ 是一个梯形，故 $AD$ 与 $BC$ 不平行，故排除直线 $BC$ 的斜率为7的情况（因为直线 $AD$ 的斜率为7）．
若直线 $BC$ 的斜率为 $-7$，则 $AD$ 与 $BC$ 的斜率之和为0，故直线 $AB$，$CD$ 必须平行于坐标轴，但这与题目条件矛盾！
若直线 $BC$ 的斜率为 $\frac{1}{7}$，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和恰为 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，这说明 $AB$ 的倾斜角为 $\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$，故 $AB$ 的斜率为 $\pm 1$．
若直线 $BC$ 的斜率为 $-\frac{1}{7}$，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和为 $\arctan7+\arctan \left( -\frac{1}{7} \right)=2\arctan 7-\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，故 $AB$ 的倾斜角为 $\arctan 7\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$．由两角和差的三角函数计算公式不难得出 $\arctan 7-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\arctan\frac{3}{4}$，故 $AB$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ 或 $-\frac{4}{3}$．
若直线 $BC$ 的斜率为1，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和为 $\arctan 7+\arctan 1=\arctan \left( -\frac{4}{3} \right)=2\arctan 2$，故 $AB$ 的倾斜角为 $\arctan2$ 或 $\arctan 2+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，因此 $AB$ 的斜率为2或 $-\frac{1}{2}$．
若直线 $BC$ 的斜率为 $-1$，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和为 $\arctan7-\arctan 1=\arctan \left( \frac{3}{4} \right)=2\arctan \frac{1}{2}$，故 $AB$ 的倾斜角为 $\arctan\frac{1}{2}$ 或 $\arctan \frac{1}{2}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，因此 $AB$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ 或 $-2$．
综上所述，直线 $AB$ 的斜率的所有可能值之和为
$1+\left(-1 \right)+\frac{3}{4}+\left( -\frac{4}{3} \right)+2+\left( -\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}+\left( -2 \right)=-\frac{7}{12}$．
故 $m=7$，$n=12$．因此 $m+n=19$．
设向量 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标为 $\left(x y \right)$，则我们有 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}=50$，且 $x$，$y$ 都是整数．由于50分解成两个完全平方数之和的方式只有 $50=1+49$ 和 $50=25+25$，故直线 $BC$ 的斜率只可能为 $\pm\frac{5}{5}$，$\pm \frac{7}{1}$，$\pm \frac{1}{7}$ 之一．
由于 $ABCD$ 是一个梯形，故 $AD$ 与 $BC$ 不平行，故排除直线 $BC$ 的斜率为7的情况（因为直线 $AD$ 的斜率为7）．
若直线 $BC$ 的斜率为 $-7$，则 $AD$ 与 $BC$ 的斜率之和为0，故直线 $AB$，$CD$ 必须平行于坐标轴，但这与题目条件矛盾！
若直线 $BC$ 的斜率为 $\frac{1}{7}$，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和恰为 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，这说明 $AB$ 的倾斜角为 $\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$，故 $AB$ 的斜率为 $\pm 1$．
若直线 $BC$ 的斜率为 $-\frac{1}{7}$，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和为 $\arctan7+\arctan \left( -\frac{1}{7} \right)=2\arctan 7-\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，故 $AB$ 的倾斜角为 $\arctan 7\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$．由两角和差的三角函数计算公式不难得出 $\arctan 7-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\arctan\frac{3}{4}$，故 $AB$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ 或 $-\frac{4}{3}$．
若直线 $BC$ 的斜率为1，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和为 $\arctan 7+\arctan 1=\arctan \left( -\frac{4}{3} \right)=2\arctan 2$，故 $AB$ 的倾斜角为 $\arctan2$ 或 $\arctan 2+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，因此 $AB$ 的斜率为2或 $-\frac{1}{2}$．
若直线 $BC$ 的斜率为 $-1$，则 $AD$ 与 $BC$ 的倾斜角之和为 $\arctan7-\arctan 1=\arctan \left( \frac{3}{4} \right)=2\arctan \frac{1}{2}$，故 $AB$ 的倾斜角为 $\arctan\frac{1}{2}$ 或 $\arctan \frac{1}{2}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，因此 $AB$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ 或 $-2$．
综上所述，直线 $AB$ 的斜率的所有可能值之和为
$1+\left(-1 \right)+\frac{3}{4}+\left( -\frac{4}{3} \right)+2+\left( -\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}+\left( -2 \right)=-\frac{7}{12}$．
故 $m=7$，$n=12$．因此 $m+n=19$．
答案
解析
备注
