求出方程 ${{x}^{2001}}+{{\left( \frac{1}{2}-x \right)}^{2001}}=0$ 的所有根之和，包括实根与虚根，假定方程没有重根．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
500
【解析】
应用二项式定理
$0={{x}^{2001}}+{{\left(\frac{1}{2}-x \right)}^{2001}}={{x}^{2001}}-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2001}}$
$={{x}^{2001}}-{{x}^{2001}}+2001\cdot{{x}^{2000}}\left( \frac{1}{2} \right)-\frac{2001\cdot2000}{2}{{x}^{1999}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\cdots $
$=\frac{2001}{2}{{x}^{2000}}-2001\cdot250{{x}^{1999}}+\cdots $．
由韦达定理，所有根之和为 $2001\cdot250\cdot \frac{2}{2001}=500$．
$0={{x}^{2001}}+{{\left(\frac{1}{2}-x \right)}^{2001}}={{x}^{2001}}-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2001}}$
$={{x}^{2001}}-{{x}^{2001}}+2001\cdot{{x}^{2000}}\left( \frac{1}{2} \right)-\frac{2001\cdot2000}{2}{{x}^{1999}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\cdots $
$=\frac{2001}{2}{{x}^{2000}}-2001\cdot250{{x}^{1999}}+\cdots $．
由韦达定理，所有根之和为 $2001\cdot250\cdot \frac{2}{2001}=500$．
答案
解析
备注
