已知 $\frac{1}{2!17!}+\frac{1}{3!16!}+\frac{1}{4!15!}+\frac{1}{5!14!}+\frac{1}{6!13!}+\frac{1}{7!12!}+\frac{1}{8!11!}+\frac{1}{9!10!}=\frac{N}{1!18!}$．
求出小于 $\frac{N}{100}$ 的最大整数．
求出小于 $\frac{N}{100}$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
137
【解析】
用 $19!$ 乘以等式两边，得 $\text{C}_{19}^{2}+\text{C}_{19}^{3}+\cdots+\text{C}_{19}^{9}=\text{C}_{19}^{1}N$．
而我们有 $\text{C}_{19}^{0}+\text{C}_{19}^{1}+\cdots+\text{C}_{19}^{9}=\frac{1}{2}\cdot \left(\text{C}_{19}^{0}+\text{C}_{19}^{1}+\cdots +\text{C}_{19}^{19}\right)={{2}^{18}}$．
因此 $N=\frac{\text{C}_{19}^{2}+\text{C}_{19}^{3}+\cdots+\text{C}_{19}^{9}}{\text{C}_{19}^{1}}=\frac{{{2}^{18}}-19-1}{19}=\frac{262144-20}{19}=13796$．
故所求为 $137$．
而我们有 $\text{C}_{19}^{0}+\text{C}_{19}^{1}+\cdots+\text{C}_{19}^{9}=\frac{1}{2}\cdot \left(\text{C}_{19}^{0}+\text{C}_{19}^{1}+\cdots +\text{C}_{19}^{19}\right)={{2}^{18}}$．
因此 $N=\frac{\text{C}_{19}^{2}+\text{C}_{19}^{3}+\cdots+\text{C}_{19}^{9}}{\text{C}_{19}^{1}}=\frac{{{2}^{18}}-19-1}{19}=\frac{262144-20}{19}=13796$．
故所求为 $137$．
答案
解析
备注
