每个正整数 $k$ 有唯一的“阶乘表示法”表示为 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{m}} \right)$，这些 ${{f}_{i}}$ 满足
$k=1!\cdot {{f}_{1}}+2!\cdot {{f}_{2}}+\cdots +m!\cdot {{f}_{m}}$，
且每个 ${{f}_{i}}$ 都是整数，$0\leqslant {{f}_{i}}\leqslant i$，$0\leqslant {{f}_{m}}$．已知 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{j}} \right)$ 是
$16!-32!+48!-64!+\cdots +1968!-1984!+2000!$
的阶乘表示法的表示方式．求 ${{f}_{1}}-{{f}_{2}}+{{f}_{3}}-{{f}_{4}}+\cdots +{{\left( -1 \right)}^{j-1}}{{f}_{j}}$．
$k=1!\cdot {{f}_{1}}+2!\cdot {{f}_{2}}+\cdots +m!\cdot {{f}_{m}}$，
且每个 ${{f}_{i}}$ 都是整数，$0\leqslant {{f}_{i}}\leqslant i$，$0\leqslant {{f}_{m}}$．已知 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{j}} \right)$ 是
$16!-32!+48!-64!+\cdots +1968!-1984!+2000!$
的阶乘表示法的表示方式．求 ${{f}_{1}}-{{f}_{2}}+{{f}_{3}}-{{f}_{4}}+\cdots +{{\left( -1 \right)}^{j-1}}{{f}_{j}}$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
480
【解析】
易知，当正整数 $m>n$，有 $m!-n!=n\cdot n!+\left( n+1 \right)\cdot \left( n+1 \right)!+\cdots+\left( m-1 \right)\cdot \left( m-1 \right)!$．
因此有 $16!-32!+48!-64!+\cdots+1968!-1984!+2000!$
$\displaystyle =16!+\sum\limits_{i=32}^{47}{i\cdot i!+\sum\limits_{i=64}^{79}{i\cdot i!}+\cdots +\sum\limits_{i=1984}^{1999}{i\cdot i!}}$．
因此当 $i=16$ 时，${{f}_{i}}=1$；当 $i$ 满足 $32\leqslant i\le2000$，$i\equiv 0$，1，…，15 $\left( \bmod 32 \right)$ 时，${{f}_{i}}=i$；当 $i$ 为其他值时，${{f}_{i}}=0$．故所求为
$1+\left(-32+33-\cdots -46+47 \right)+\cdots +\left( -1984+1985-\cdots -1998+1999 \right)$
$=1+8\times62=495$．
因此有 $16!-32!+48!-64!+\cdots+1968!-1984!+2000!$
$\displaystyle =16!+\sum\limits_{i=32}^{47}{i\cdot i!+\sum\limits_{i=64}^{79}{i\cdot i!}+\cdots +\sum\limits_{i=1984}^{1999}{i\cdot i!}}$．
因此当 $i=16$ 时，${{f}_{i}}=1$；当 $i$ 满足 $32\leqslant i\le2000$，$i\equiv 0$，1，…，15 $\left( \bmod 32 \right)$ 时，${{f}_{i}}=i$；当 $i$ 为其他值时，${{f}_{i}}=0$．故所求为
$1+\left(-32+33-\cdots -46+47 \right)+\cdots +\left( -1984+1985-\cdots -1998+1999 \right)$
$=1+8\times62=495$．
答案
解析
备注
