在 $\vartriangle ABC$ 中，$\angle A=60{}^\circ $，$\angle B=45{}^\circ $．$\angle A$ 的角平分线交 $BC$ 于点 $T$，且 $AT=24$．$\vartriangle ABC$ 的面积可以写成 $a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
291
【解析】
如图所示，注意到 $\angle C$ 与 $\angle ATC$ 都是 $75{}^\circ $，因此 $AC=AT=24$．作 $\vartriangle ABC$ 的高 $CD$．易知 $\vartriangle ADC$ 的各角分别为 $30{}^\circ -60{}^\circ -90{}^\circ $，$\vartriangle BDC$ 的各角分别为 $45{}^\circ-45{}^\circ -90{}^\circ $．因此 $AD=12$，$BD=CD=12\sqrt{3}$．故三角形 $ABC$ 的面积为 $\frac{12\sqrt{3}\left( 12+12\sqrt{3} \right)}{2}=216+72\sqrt{3}$．
因此 $a+b+c=291$．
因此 $a+b+c=291$．
答案
解析
备注
