将 $5\times N$ 点阵中的所有点从左到右、从上到下依次编号（如第一行的序号是从1到 $N$，第二行的序号是从 $N+1$ 到 $2N$，等等）．从第 $i$ 行中任意抽取一点 ${{P}_{i}}$，这样我们选择了5个点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，${{P}_{3}}$，${{P}_{4}}$ 和 ${{P}_{5}}$．设 ${{P}_{i}}$ 对应数 ${{x}_{i}}$．现在从第一列开始重新对点进行从左到右的编号，这时设 ${{P}_{i}}$ 对应数是 ${{y}_{i}}$．我们发现恰有 ${{x}_{1}}={{y}_{2}}$，${{x}_{2}}={{y}_{1}}$，${{x}_{3}}={{y}_{4}}$，${{x}_{4}}={{y}_{5}}$，${{x}_{5}}={{y}_{3}}$．求 $N$ 的最小可能值．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
149
【解析】
设 ${{P}_{i}}$ 在第 $i$ 行第 ${{c}_{i}}$ 列．故
${{x}_{1}}={{c}_{1}}$，${{x}_{3}}=N+{{c}_{2}}$，${{x}_{3}}=2N+{{c}_{3}}$，${{x}_{4}}=3N+{{c}_{4}}$，${{x}_{5}}=4N+{{c}_{5}}$，
${{y}_{1}}=5{{c}_{1}}-4$，${{y}_{2}}=5{{c}_{2}}-3$，${{y}_{3}}=5{{c}_{3}}-2$，${{x}_{4}}=5{{c}_{4}}-1$，${{x}_{5}}=5{{c}_{5}}$．
又因为 ${{P}_{i}}$ 的选择满足题目中的规律，故
${{c}_{1}}=5{{c}_{2}}-3$，$N+{{c}_{2}}=5{{c}_{1}}-4$，$2N+{{c}_{3}}=5{{c}_{4}}-1$，$3N+{{c}_{4}}=5{{c}_{5}}$，$4N+{{c}_{5}}=5{{c}_{3}}+2$．
用前两个等式消去 ${{c}_{1}}$，得到 $24{{c}_{2}}=N+19$，故 $N=24K+5$，其中 $k={{c}_{2}}-1$．接着用剩下的不等式消去 ${{c}_{3}}$ 和 ${{c}_{4}}$，得到 $124{{c}_{2}}=89N+7$．对 $N$ 进行替换，得 $124{{c}_{5}}=2136K+452$，故 $31{{c}_{5}}=534k+113=31\left(17k+3 \right)+7k+20$．换句话说，对某个正整数 $m$，有 $7k+20=31m$，即 $7k=31m-20=7\left( 4m-2 \right)+3m-6$．因此 $7|3m-6$，故 $m$ 的最小值是2，因此 $k$ 的最小可能值是6，故 $N=24\cdot6+5=149$．不难检验，当 ${{c}_{2}}=7$，${{c}_{1}}=32$，${{c}_{5}}=107$，${{c}_{4}}=5{{c}_{5}}-3N=88$，${{c}_{3}}=5{{c}_{4}}-1-2N=141$ 时，这些点 ${{P}_{i}}$ 满足题目条件．此时这些点对应的数值分别是
${{x}_{1}}=32$，${{x}_{2}}=156$，${{x}_{3}}=439$，${{x}_{4}}=535$，${{x}_{5}}=703$．
${{x}_{1}}={{c}_{1}}$，${{x}_{3}}=N+{{c}_{2}}$，${{x}_{3}}=2N+{{c}_{3}}$，${{x}_{4}}=3N+{{c}_{4}}$，${{x}_{5}}=4N+{{c}_{5}}$，
${{y}_{1}}=5{{c}_{1}}-4$，${{y}_{2}}=5{{c}_{2}}-3$，${{y}_{3}}=5{{c}_{3}}-2$，${{x}_{4}}=5{{c}_{4}}-1$，${{x}_{5}}=5{{c}_{5}}$．
又因为 ${{P}_{i}}$ 的选择满足题目中的规律，故
${{c}_{1}}=5{{c}_{2}}-3$，$N+{{c}_{2}}=5{{c}_{1}}-4$，$2N+{{c}_{3}}=5{{c}_{4}}-1$，$3N+{{c}_{4}}=5{{c}_{5}}$，$4N+{{c}_{5}}=5{{c}_{3}}+2$．
用前两个等式消去 ${{c}_{1}}$，得到 $24{{c}_{2}}=N+19$，故 $N=24K+5$，其中 $k={{c}_{2}}-1$．接着用剩下的不等式消去 ${{c}_{3}}$ 和 ${{c}_{4}}$，得到 $124{{c}_{2}}=89N+7$．对 $N$ 进行替换，得 $124{{c}_{5}}=2136K+452$，故 $31{{c}_{5}}=534k+113=31\left(17k+3 \right)+7k+20$．换句话说，对某个正整数 $m$，有 $7k+20=31m$，即 $7k=31m-20=7\left( 4m-2 \right)+3m-6$．因此 $7|3m-6$，故 $m$ 的最小值是2，因此 $k$ 的最小可能值是6，故 $N=24\cdot6+5=149$．不难检验，当 ${{c}_{2}}=7$，${{c}_{1}}=32$，${{c}_{5}}=107$，${{c}_{4}}=5{{c}_{5}}-3N=88$，${{c}_{3}}=5{{c}_{4}}-1-2N=141$ 时，这些点 ${{P}_{i}}$ 满足题目条件．此时这些点对应的数值分别是
${{x}_{1}}=32$，${{x}_{2}}=156$，${{x}_{3}}=439$，${{x}_{4}}=535$，${{x}_{5}}=703$．
答案
解析
备注
