在梯形 $ABCD$ 中，腰 $BC$ 与底边 $AB$ 及 $CD$ 垂直，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直．已知 $AB=\sqrt{11}$，$AD=\sqrt{1001}$，求 $B{{C}^{2}}$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
110
【解析】
设对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$，由相似三角形的性质（或正切函数性质）易得
$\frac{DE}{CE}=\frac{CE}{BE}=\frac{BE}{AE}$．
因此 $\frac{D{{E}^{2}}}{C{{E}^{2}}}=\frac{C{{E}^{2}}}{B{{E}^{2}}}=\frac{B{{E}^{2}}}{A{{E}^{2}}}$，故我们可设 $A{{E}^{2}}={{x}^{3}}$，$B{{E}^{2}}={{x}^{2}}y$，$C{{E}^{2}}=x{{y}^{2}}$，$D{{E}^{2}}={{y}^{3}}$．
由勾股定理得 ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}y=11$，${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1001$．两式相除得 ${{\left(\frac{y}{x} \right)}^{2}}-\left( \frac{y}{x} \right)+1=91$，由于 $x$，$y$ 都是正数，故 $\frac{y}{x}$ 也是正数，因此解得 $\frac{y}{x}=10$，再代回原方程得 ${{x}^{3}}=1$，因此 $x=1$，$y=10$．
由勾股定理得 $B{{C}^{2}}={{x}^{2}}y+xy=110$，故所求为 $110$．
$\frac{DE}{CE}=\frac{CE}{BE}=\frac{BE}{AE}$．
因此 $\frac{D{{E}^{2}}}{C{{E}^{2}}}=\frac{C{{E}^{2}}}{B{{E}^{2}}}=\frac{B{{E}^{2}}}{A{{E}^{2}}}$，故我们可设 $A{{E}^{2}}={{x}^{3}}$，$B{{E}^{2}}={{x}^{2}}y$，$C{{E}^{2}}=x{{y}^{2}}$，$D{{E}^{2}}={{y}^{3}}$．
由勾股定理得 ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}y=11$，${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1001$．两式相除得 ${{\left(\frac{y}{x} \right)}^{2}}-\left( \frac{y}{x} \right)+1=91$，由于 $x$，$y$ 都是正数，故 $\frac{y}{x}$ 也是正数，因此解得 $\frac{y}{x}=10$，再代回原方程得 ${{x}^{3}}=1$，因此 $x=1$，$y=10$．
由勾股定理得 $B{{C}^{2}}={{x}^{2}}y+xy=110$，故所求为 $110$．
答案
解析
备注
