已知复数 $z$ 满足 $z+\frac{1}{z}=2\cos 3{}^\circ $，求大于 ${{2}^{2000}}+\frac{1}{{{z}^{2000}}}$ 的最小整数．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
0
【解析】
将已知式两边平方得 ${{z}^{2}}+2+\frac{1}{{{z}^{2}}}=4{{\cos }^{2}}3{}^\circ $，两边同时减去4得 ${{\left( z-\frac{1}{z} \right)}^{2}}=-4{{\sin }^{2}}3{}^\circ $，因此 $z-\frac{1}{z}=\pm2\text{i}\sin 3{}^\circ $，故 $z=\cos 3{}^\circ \pm \text{i}\sin 3{}^\circ $．
无论 $z$ 取哪个值，都有
${{z}^{2000}}+\frac{1}{{{z}^{2000}}}=\left(\cos 6000{}^\circ +\text{i}\sin 6000{}^\circ \right)+\left( \cos 6000{}^\circ -\text{i}\sin 6000{}^\circ \right)$
$=2\cos 6000{}^\circ =2\cos 240{}^\circ =-1$．
因为此所求为 $0$．
无论 $z$ 取哪个值，都有
${{z}^{2000}}+\frac{1}{{{z}^{2000}}}=\left(\cos 6000{}^\circ +\text{i}\sin 6000{}^\circ \right)+\left( \cos 6000{}^\circ -\text{i}\sin 6000{}^\circ \right)$
$=2\cos 6000{}^\circ =2\cos 240{}^\circ =-1$．
因为此所求为 $0$．
答案
解析
备注
