求出所有使 ${{n}^{2}}-19n+99$ 的值为完全平方数的正整数 $n$ 的和．
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
38
【解析】
若对于正整数 $m$，$n$，有 ${{n}^{2}}-19n+99={{m}^{2}}$，
则有 $4{{m}^{2}}=4{{n}^{2}}-76n+396={{\left(2n-19 \right)}^{2}}+35$，
即 $4{{m}^{2}}-{{\left(2n-19 \right)}^{2}}=35$ 或 $\left( 2m+2n-19 \right)\left( 2m-2n+19 \right)=35$．
上式左边两因式之和 $\left(2m+2n-19 \right)+\left( 2m-2n+19 \right)=4m$ 是一个正整数，因此数对 $\left(2m+2n-19,2m-2n+19 \right)$ 只可能为 $\left( 1,35 \right)$，$\left( 5,7 \right)$，$\left( 7,5 \right)$ 或 $\left( 35, 1 \right)$．第一个因式减去第二个因式发现 $4n-38$ 只可能等于 $-34$，$-2$，$2$ 或34，故 $n$ 只能为 $1$，$9$，$10$ 或 $18$．这些整数之和为 $38$．
则有 $4{{m}^{2}}=4{{n}^{2}}-76n+396={{\left(2n-19 \right)}^{2}}+35$，
即 $4{{m}^{2}}-{{\left(2n-19 \right)}^{2}}=35$ 或 $\left( 2m+2n-19 \right)\left( 2m-2n+19 \right)=35$．
上式左边两因式之和 $\left(2m+2n-19 \right)+\left( 2m-2n+19 \right)=4m$ 是一个正整数，因此数对 $\left(2m+2n-19,2m-2n+19 \right)$ 只可能为 $\left( 1,35 \right)$，$\left( 5,7 \right)$，$\left( 7,5 \right)$ 或 $\left( 35, 1 \right)$．第一个因式减去第二个因式发现 $4n-38$ 只可能等于 $-34$，$-2$，$2$ 或34，故 $n$ 只能为 $1$，$9$，$10$ 或 $18$．这些整数之和为 $38$．
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