平面上给出10个点，任何三点都不共线，作4条线段，每条线段连接平面上的两个点．这些线段是任选的，且这些线段都有相同的被选的可能性．由这些线段中的某三条线段构成以给定10点中三点为顶点的三角形的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
489
【解析】
若10个点间连4条线段构成了一个三角形，则该三角形有 $\text{C}_{10}^{3}$ 种选择方式，而对于第四条线段，若其有一个顶点属于上述三角形，则有 $3\times7=21$ 种选择方式，若其中的两个顶点均不属上述三角形，则有 $\text{C}_{7}^{2}=21$ 种选择方式，故构成一个三角形的4条线段有 $\text{C}_{10}^{3}\left( 21+21 \right)=42\text{C}_{10}^{3}$ 种选择方式．
另一方面，从10个点的两两间可能的 $\text{C}_{10}^{2}=45$ 条线段中取4条有 $\text{C}_{45}^{4}$ 种方式，
故 $\frac{m}{n}=\frac{42\cdot\text{C}_{10}^{3}}{\text{C}_{45}^{4}}=\frac{16}{473}$，从而 $m+n=16+473=489$．
另一方面，从10个点的两两间可能的 $\text{C}_{10}^{2}=45$ 条线段中取4条有 $\text{C}_{45}^{4}$ 种方式，
故 $\frac{m}{n}=\frac{42\cdot\text{C}_{10}^{3}}{\text{C}_{45}^{4}}=\frac{16}{473}$，从而 $m+n=16+473=489$．
答案
解析
备注
