$\vartriangle ABC$ 的内切圆与 $AB$ 边在 $P$ 点相切，圆的半径为21，已知 $AP=23$，$PB=27$，求此三角形的周长．
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
345
【解析】
令 $I$ 为内切圆的圆心，$R$ 为圆与 $AC$ 相切的切点．由于 $I$ 是此三角形三条内角平分线的交点，所以 $\angle IAB+\angle IBC+\angle ICA=90{}^\circ $．注意到 $\tan\angle IAB=\frac{21}{23}$，$\tan \angle IBC=\frac{21}{27}$ 及 $\tan \angle ICA=\frac{21}{CR}$，则有 $\frac{CR}{21}=\tan\left( 90{}^\circ -\angle ICA \right)=\tan \left( \angle IAB+\angle IBC\right)=\frac{\frac{21}{23}+\frac{21}{27}}{1-\frac{21}{23}\cdot\frac{21}{27}}=\frac{35}{6}$．
因此 $CR=\frac{245}{2}$．故此三角形的周长为 $2\left(23+27+\frac{245}{2} \right)=345$．
因此 $CR=\frac{245}{2}$．故此三角形的周长为 $2\left(23+27+\frac{245}{2} \right)=345$．
答案
解析
备注
