正方体的三条棱的 $AB$，$BC$ 和 $CD$，$AD$ 是体对角线．点 $P$，$Q$，$R$ 分别在 $AB$，$BC$，$CD$ 上，$AP=5$，$PB=15$，$BQ=15$，$CR=10$．那么，平面 $PQR$ 向各方向延伸后与正方体的交线组成的多边形的面积是多少？
【难度】
【出处】
1998年第16届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
525
【解析】
如图所示，因为 $BP=BQ$，所以 $PQ\parallel AC$，这样过 $R$ 的平行于 $PQ$ 的直线交 $AF$ 于 $U$ 且 $AU=CR$．因为过 $R$ 且平行于 $PQ$ 的直线在平面 $PQR$ 上，所以 $U$ 是相交得出的多边形的顶点，又 $RU$ 的中点是正方体的中心，故相交得出的多边形上的点关于正方体中心对称，因此它的面积是梯形 $PQRU$ 的面积的两倍，梯形 $PQRU$ 的高为 $\sqrt{U{{P}^{2}}-{{\left( \frac{UR-PQ}{2} \right)}^{2}}}$．
又易知 $UR=20\sqrt{2}$，$PQ=15\sqrt{2}$，$UP=\sqrt{125}$，故所求面积为
$\left(UR+PQ \right)\sqrt{U{{P}^{2}}-{{\left( \frac{UP-PQ}{2}\right)}^{2}}}=3\sqrt{2}\sqrt{\frac{225}{2}}=525$．
又易知 $UR=20\sqrt{2}$，$PQ=15\sqrt{2}$，$UP=\sqrt{125}$，故所求面积为
$\left(UR+PQ \right)\sqrt{U{{P}^{2}}-{{\left( \frac{UP-PQ}{2}\right)}^{2}}}=3\sqrt{2}\sqrt{\frac{225}{2}}=525$．
答案
解析
备注
