对任意正整数 $x$，设 $S\left( x \right)$ 为 $x$ 的所有数位上的数字之和，令 $T\left( x \right)$ 为 $\left| S\left( x+2 \right)-S\left( x \right) \right|$．例如，$T\left( 199 \right)=\left| S\left( 201 \right)-S\left( 199 \right) \right|=\left| 3-19 \right|=16$．问 $T\left( x \right)$ 有多少个不超过1999的值？
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
223
【解析】
当 $x+2$ 不出现进位时，则 $T\left( x\right)=\left| S\left( x+2 \right)-S\left( x \right) \right|=2$；
当 $x+2$ 出现进位时，设 $x=q\times{{10}^{l+1}}+\underbrace{\overline{99\cdots 99}}_{l9}P$，其中 $P=8$ 或9，$l\in \mathbf{N}\bigcup \left\{ 0 \right\}$ 且 $q$ 为个位不为9的数，于是 $x+2=\left(q+1 \right)\times {{10}^{l+1}}+\left( P-8 \right)$，故
$T\left( x\right)=\left| S\left( x+2 \right)-S\left( x \right) \right|$
$=\left| S\left( q+1 \right)+P-8-\left( S\left( q \right)+P+9l\right) \right|$
$=\left| P-7-P-9l \right|$
$=\left| 9l+7 \right|=9l+7$．
故当 $T\left( x\right)\leqslant 1999$ 时，$T\left( x \right)$ 可为 $7$，$16$，$25$，$\cdots$，$1996$，共 $222$ 个不同的值．
因此 $T\left( x \right)$ 有 $223$ 个不超过 $1999$ 的值．
当 $x+2$ 出现进位时，设 $x=q\times{{10}^{l+1}}+\underbrace{\overline{99\cdots 99}}_{l9}P$，其中 $P=8$ 或9，$l\in \mathbf{N}\bigcup \left\{ 0 \right\}$ 且 $q$ 为个位不为9的数，于是 $x+2=\left(q+1 \right)\times {{10}^{l+1}}+\left( P-8 \right)$，故
$T\left( x\right)=\left| S\left( x+2 \right)-S\left( x \right) \right|$
$=\left| S\left( q+1 \right)+P-8-\left( S\left( q \right)+P+9l\right) \right|$
$=\left| P-7-P-9l \right|$
$=\left| 9l+7 \right|=9l+7$．
故当 $T\left( x\right)\leqslant 1999$ 时，$T\left( x \right)$ 可为 $7$，$16$，$25$，$\cdots$，$1996$，共 $222$ 个不同的值．
因此 $T\left( x \right)$ 有 $223$ 个不超过 $1999$ 的值．
答案
解析
备注
