设 $T$ 为位于平面 $x+y+z=1$ 上的三元有序实数组 $\left( x, y, z \right)$ 的集合，其中 $x ,y ,z\geqslant 0$．当 $x\geqslant a$，$y\geqslant b$，$z\geqslant c$ 中恰有两个成立时，我们称 $\left( x ,y ,z \right)$ 支撑 $\left( a, b, c \right)$．令 $S$ 为 $T$ 中支撑 $\left( \frac{1}{2} ,\frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right)$ 的三元组组成的集合，$S$，$T$ 的面积比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
25
【解析】
$T$ 是第一卦限内的等边三角形，其顶点坐标分别为 $\left(1 0 0 \right)$，$\left( 0 ,1 ,0 \right)$，$\left( 0, 0 ,1\right)$．平面 $x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{3}$，$z=\frac{1}{6}$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线分别与 $T$ 的三边平行，如图所示．令 $A$ 表示 $T$ 中满足 $x\geqslant\frac{1}{2}$ 且 $y\geqslant \frac{1}{3}$ 的点的集合．注意到 $A$ 中各点满足 $z\geqslant\frac{1}{6}$，故 $A$ 中的点支撑 $\left( \frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{6} \right)$（除去点 $\left(\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{6} \right)$ 本身）．同理，令 $B$ 表示 $T$ 中满足 $x\geqslant\frac{1}{2}$ 且 $z\geqslant \frac{1}{6}$ 的点组成的集合，除点 $\left(\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{6} \right)$ 之外，令 $C$ 表示 $T$ 中满足 $y\geqslant\frac{1}{3}$ 且 $z\geqslant \frac{1}{6}$ 的点组成的集合．除点 $\left(\frac{1}{2} ,\frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right)$ 之外，$S$ 是等边三角形 $A$，$B$，$C$ 的并．又三角形 $A$，$B$，$C$ 各边长分别是三角形 $T$ 各边长的 $\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$，故它们的面积分别是三角形 $T$ 的面积的 $\frac{1}{36}$，$\frac{1}{9}$ 和 $\frac{1}{4}$．从而 $S$ 的面积与 $T$ 的面积比为 $\frac{1}{36}+\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{7}{18}$．故 $m+n=25$．
答案
解析
备注
