两位数学家每天早上都会抽空出来喝咖啡，他们每天都在早上9点至10点中的任一时刻只身到达自助餐厅，并呆上整整 $m$ 分钟．两人在自助餐厅里碰面的概率是 $40%$，令 $m=a-b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$．
【难度】
【出处】
1998年第16届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
87
【解析】
设两位数学家分别于9点 $x$ 分与9点 $y$ 分到达自助餐厅，于是 $0\leqslant x$，$y\leqslant 60$．若两位数学家能相遇，则 $x\leqslant y\leqslant x+m$ 或 $x\leqslant y+m\leqslant x+m$，即 $x-m\leqslant y\leqslant x+m$，下面分两种情况讨论．
（1）当 $m\geqslant 30$ 时，$60-m\leqslant m$，于是当 $0\leqslant x\leqslant 60-m$ 时，$0\leqslant y\leqslant x+m$；当 $60-m\leqslant x\leqslant m$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant x+m$，即 $0\leqslant y\leqslant 60$；当 $m\leqslant x\leqslant 60$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant 60$．
对 $0\leqslant x\leqslant 60-m$，将 $\left[ 0\\ 60-m \right]$ 分为 $n$ 份 $\left( n\in \mathbf{N} \right)$，则 $0\leqslant y\leqslant x+m$ 的概率为 $\frac{1}{60}\left(m+\frac{60-m}{n}k \right)$，此时 $x=\frac{60-m}{n}k$，于是 $0\leqslant x\leqslant 60-m$，$0\leqslant y\leqslant x+m$ 的概率为
$\displaystyle \underset{n\to+\infty }{\mathop{\lim }} \left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{60}\left(m+\frac{60-m}{n}k \right)\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{60-m}{60}}\right]=\frac{3600-{{m}^{2}}}{7200}$．（2）
同理，当 $m\leqslant x\leqslant 60$，$x-m\leqslant y\leqslant 60$ 的概率为 $\frac{3600-{{m}^{2}}}{7200}$，又当 $60-m\leqslant x\leqslant m$ 时，$0\leqslant y\le60$ 的概率为 $\frac{2m-60}{60}$，从而
$2\cdot\frac{3600-{{m}^{2}}}{7200}+\frac{2m-60}{60}=40%$，
解得 $m=60-12\sqrt{15}<30$ 与 $m>30$ 矛盾！
（2）当 $m\leqslant 30$ 时，$60-m\geqslant m$，当 $0\leqslant x\leqslant m$ 时，$0\leqslant y\leqslant x+m$，由（2），类似计算知此种情况概率为 $\frac{{{m}^{2}}}{2400}$；当 $m\leqslant x\leqslant 60-m$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant x+m$，此时的概率为
$\frac{60-2m}{60}\cdot \frac{2m}{60}=\frac{m\left( 30-m\right)}{900}$；当 $60-m\leqslant x\leqslant 60$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant 60$，此时概率为 $\frac{{{m}^{2}}}{2400}$，从而 $2\times\frac{{{m}^{2}}}{2400}+\frac{m\left( 30-m \right)}{900}=40%$．
解得 $m=60-12\sqrt{15}<30$，满足要求．
综上所述，$m=60-12\sqrt{15}$，故 $a+b+c=60+12+15=87$．
（1）当 $m\geqslant 30$ 时，$60-m\leqslant m$，于是当 $0\leqslant x\leqslant 60-m$ 时，$0\leqslant y\leqslant x+m$；当 $60-m\leqslant x\leqslant m$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant x+m$，即 $0\leqslant y\leqslant 60$；当 $m\leqslant x\leqslant 60$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant 60$．
对 $0\leqslant x\leqslant 60-m$，将 $\left[ 0\\ 60-m \right]$ 分为 $n$ 份 $\left( n\in \mathbf{N} \right)$，则 $0\leqslant y\leqslant x+m$ 的概率为 $\frac{1}{60}\left(m+\frac{60-m}{n}k \right)$，此时 $x=\frac{60-m}{n}k$，于是 $0\leqslant x\leqslant 60-m$，$0\leqslant y\leqslant x+m$ 的概率为
$\displaystyle \underset{n\to+\infty }{\mathop{\lim }} \left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{60}\left(m+\frac{60-m}{n}k \right)\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{60-m}{60}}\right]=\frac{3600-{{m}^{2}}}{7200}$．（2）
同理，当 $m\leqslant x\leqslant 60$，$x-m\leqslant y\leqslant 60$ 的概率为 $\frac{3600-{{m}^{2}}}{7200}$，又当 $60-m\leqslant x\leqslant m$ 时，$0\leqslant y\le60$ 的概率为 $\frac{2m-60}{60}$，从而
$2\cdot\frac{3600-{{m}^{2}}}{7200}+\frac{2m-60}{60}=40%$，
解得 $m=60-12\sqrt{15}<30$ 与 $m>30$ 矛盾！
（2）当 $m\leqslant 30$ 时，$60-m\geqslant m$，当 $0\leqslant x\leqslant m$ 时，$0\leqslant y\leqslant x+m$，由（2），类似计算知此种情况概率为 $\frac{{{m}^{2}}}{2400}$；当 $m\leqslant x\leqslant 60-m$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant x+m$，此时的概率为
$\frac{60-2m}{60}\cdot \frac{2m}{60}=\frac{m\left( 30-m\right)}{900}$；当 $60-m\leqslant x\leqslant 60$ 时，$x-m\leqslant y\leqslant 60$，此时概率为 $\frac{{{m}^{2}}}{2400}$，从而 $2\times\frac{{{m}^{2}}}{2400}+\frac{m\left( 30-m \right)}{900}=40%$．
解得 $m=60-12\sqrt{15}<30$，满足要求．
综上所述，$m=60-12\sqrt{15}$，故 $a+b+c=60+12+15=87$．
答案
解析
备注
