有一个 $m\times n\times p$ 的长方体盒子，另有一个 $\left( m+2 \right)\times \left( n+2 \right)\times \left( p+2 \right)$ 的长方体盒子，其中 $m$，$n$，$p$ 均为正整数，$m\leqslant n\leqslant p$，并且前者的体积是后者体积的一半．求 $p$ 的最大可能值．
【难度】
【出处】
1998年第16届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
130
【解析】
由题意，$2mnp=\left( m+2 \right)\left( n+2 \right)\left( p+2 \right)$，故
$\left(1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left( 1+\frac{2}{p}\right)=2$．（4）
当 $m\geqslant 8$ 时，由 $p\geqslant n\geqslant m$ 知，$\left( 1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left(1+\frac{2}{p} \right)\leqslant {{\left( 1+\frac{2}{8} \right)}^{3}}<2$ 与 $\left( 16-4\right)$ 矛盾！
当 $m\leqslant 2$ 时，$\left(1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left( 1+\frac{2}{p}\right)>1+\frac{2}{m}>2$ 与（4）矛盾！因此 $3\leqslant m\leqslant 7$．
当 $m=3$ 时，由 $2mnp=\left(m+2 \right)\left( n+2 \right)\left( p+2 \right)$ 知 $6np=5\left( n+2\right)\left( p+2 \right)$，从而 $\left( n-10 \right)\left( p-10 \right)=120$，故 $p-10\le120$，即 $p\leqslant 130$，且当 $n=11$ 时，$p=130$．
当 $m=4$ 时，由 $2mnp=\left(m+2 \right)\left( n+2 \right)\left( p+2 \right)$ 知 $4np=3\left( n+2\right)\left( p+2 \right)$，从而 $\left( n-6 \right)\left( p-6 \right)=48$，故 $p-6\leqslant 48$，即 $p\leqslant 54$．
当 $m\geqslant 5$ 时，$p\leqslant 130$，事实上，若 $p>130$，又 $n\geqslant m\ge5$，
故 $\left(1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left( 1+\frac{2}{p}\right)<\left( 1+\frac{2}{5} \right)\left( 1+\frac{2}{5} \right)\left(1+\frac{2}{130} \right)<2$，与（4）矛盾！
综上所述，$p$ 的最大可能值为130．
$\left(1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left( 1+\frac{2}{p}\right)=2$．（4）
当 $m\geqslant 8$ 时，由 $p\geqslant n\geqslant m$ 知，$\left( 1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left(1+\frac{2}{p} \right)\leqslant {{\left( 1+\frac{2}{8} \right)}^{3}}<2$ 与 $\left( 16-4\right)$ 矛盾！
当 $m\leqslant 2$ 时，$\left(1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left( 1+\frac{2}{p}\right)>1+\frac{2}{m}>2$ 与（4）矛盾！因此 $3\leqslant m\leqslant 7$．
当 $m=3$ 时，由 $2mnp=\left(m+2 \right)\left( n+2 \right)\left( p+2 \right)$ 知 $6np=5\left( n+2\right)\left( p+2 \right)$，从而 $\left( n-10 \right)\left( p-10 \right)=120$，故 $p-10\le120$，即 $p\leqslant 130$，且当 $n=11$ 时，$p=130$．
当 $m=4$ 时，由 $2mnp=\left(m+2 \right)\left( n+2 \right)\left( p+2 \right)$ 知 $4np=3\left( n+2\right)\left( p+2 \right)$，从而 $\left( n-6 \right)\left( p-6 \right)=48$，故 $p-6\leqslant 48$，即 $p\leqslant 54$．
当 $m\geqslant 5$ 时，$p\leqslant 130$，事实上，若 $p>130$，又 $n\geqslant m\ge5$，
故 $\left(1+\frac{2}{m} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\left( 1+\frac{2}{p}\right)<\left( 1+\frac{2}{5} \right)\left( 1+\frac{2}{5} \right)\left(1+\frac{2}{130} \right)<2$，与（4）矛盾！
综上所述，$p$ 的最大可能值为130．
答案
解析
备注
