八个半径为100的球体被放到一个水平的面上，每个球都与其相邻的两个球体相切，而它们的球心是一个正八边形的八个顶点．现将第九个球放在这个水平面上，使它与已放好的八个球均恰好相切．设第九个球的半径为 $a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 均为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除，求 $a+b+c$．
【难度】
【出处】
1998年第16届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
152
【解析】
如图所示，设8个球的球心构成的正八边形为 $ABCDEFGH$，其中心为 $O$，于是第九个球的球心 ${{O}_{1}}$ 在面 $ABC$ 上的射影为 $O$．设球 ${{O}_{1}}$ 半径为 $R$，由于 $OA=OB$，故 $2O{{A}^{2}}-2O{{A}^{2}}\cos\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}={{200}^{2}}$．
从而 $O{{A}^{2}}=20000\left(2+\sqrt{2} \right)$，又由于 $O{{A}^{2}}={{\left( R+100 \right)}^{2}}-{{\left( R-100\right)}^{2}}=400R$，
从而 $R=50\left(2+\sqrt{2} \right)=100+50\sqrt{2}$，故 $a+b+c=100+50+2=152$．
从而 $O{{A}^{2}}=20000\left(2+\sqrt{2} \right)$，又由于 $O{{A}^{2}}={{\left( R+100 \right)}^{2}}-{{\left( R-100\right)}^{2}}=400R$，
从而 $R=50\left(2+\sqrt{2} \right)=100+50\sqrt{2}$，故 $a+b+c=100+50+2=152$．
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备注
