40个队参加比赛，每个队与任何一个队只比一次，没有出现平局．每个队均有 $50%$ 的概率战胜对手，没有两个队赢相同场数的概率为 $\frac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 ${{\log }_{2}}n$．
【难度】
【出处】
1999年第17届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
742
【解析】
若40个队中没有两个队赢的场数相同，则他们分别胜了39，38，……，1，0场，于是可将这40个队排成一行，使每个队都胜了它后面所有的队，于是40个队中没有两队赢的场数相同的情形有 $40!$ 种．
另一方面，每场比赛有两种不同结果，从而比赛完毕后有 ${{2}^{\text{C}_{40}^{2}}}$ 种不同结果．因此 $\frac{m}{n}=\frac{40!}{{{2}^{\text{C}_{40}^{2}}}}$，由于 $40!$ 中含2的幂次为 $\left[ \frac{40}{2} \right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{2}}}\right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{3}}} \right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{4}}}\right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{5}}} \right]=20+10+5+2+1=38$，从而 ${{\log}_{2}}n=\text{C}_{40}^{2}-38=742$．
另一方面，每场比赛有两种不同结果，从而比赛完毕后有 ${{2}^{\text{C}_{40}^{2}}}$ 种不同结果．因此 $\frac{m}{n}=\frac{40!}{{{2}^{\text{C}_{40}^{2}}}}$，由于 $40!$ 中含2的幂次为 $\left[ \frac{40}{2} \right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{2}}}\right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{3}}} \right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{4}}}\right]+\left[ \frac{40}{{{2}^{5}}} \right]=20+10+5+2+1=38$，从而 ${{\log}_{2}}n=\text{C}_{40}^{2}-38=742$．
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