设重复地投掷一枚均匀的硬币时，连续两次出列背面这前连续5次出现正面的概率为 $p$，$p$ 能够写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
37
【解析】
设一个“成功的行”是由H，T组成的序列使得在TT之前出现HHHHH（H是英语单词正面head的第一个字母，T是英语单词背面tail的第一个字母）．每一个“成功的行”一定属于下列三种类型之一：
（1）以T开头，后面连接一个以H开头的“成功的行”；
（2）以H，HH，HHH或HHHH开头，后面连接一个以T开头的“成功的行”；
（3）HHHHH．
设 ${{p}_{\text{H}}}$ 表示以H开头得到一个“成功的行”的概率，${{p}_{\text{T}}}$ 表示以T开头得到一个“成功的行”的概率，则
${{p}_{\text{T}}}=\frac{1}{2}{{p}_{\text{H}}}$，
${{p}_{\text{H}}}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right){{p}_{\text{T}}}+\frac{1}{32}$．
解之得 ${{p}_{\text{H}}}=\frac{1}{17}$，${{p}_{\text{T}}}=\frac{1}{34}$．
因此，连续两次出现背面之前连续五次出现正面的概率为 $p={{p}_{\text{H}}}+{{p}_{\text{T}}}=\frac{3}{34}$．
故 $m+n=37$．
（1）以T开头，后面连接一个以H开头的“成功的行”；
（2）以H，HH，HHH或HHHH开头，后面连接一个以T开头的“成功的行”；
（3）HHHHH．
设 ${{p}_{\text{H}}}$ 表示以H开头得到一个“成功的行”的概率，${{p}_{\text{T}}}$ 表示以T开头得到一个“成功的行”的概率，则
${{p}_{\text{T}}}=\frac{1}{2}{{p}_{\text{H}}}$，
${{p}_{\text{H}}}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right){{p}_{\text{T}}}+\frac{1}{32}$．
解之得 ${{p}_{\text{H}}}=\frac{1}{17}$，${{p}_{\text{T}}}=\frac{1}{34}$．
因此，连续两次出现背面之前连续五次出现正面的概率为 $p={{p}_{\text{H}}}+{{p}_{\text{T}}}=\frac{3}{34}$．
故 $m+n=37$．
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解析
备注
