两个正数的调和平均是它们的倒数的算术平均的倒数，有多少个正整数的有序对 $\left( x, y \right)$，使得 $x<y$ 且 $x$ 与 $y$ 的调和平均等于 ${{6}^{20}}$？
【难度】
【出处】
1996年第14届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
799
【解析】
根据题意得 ${{6}^{20}}=\frac{1}{\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}=\frac{2xy}{x+y}$，
即 $\left(x-\frac{{{6}^{20}}}{2} \right)\left( y-\frac{{{6}^{20}}}{2}\right)=\frac{{{6}^{40}}}{4}={{2}^{38}}\times {{3}^{40}}$．
${{2}^{38}}\times{{3}^{40}}$ 有 $\left( 38+1 \right)\left( 40+1 \right)={{40}^{2}}-1$ 个因数，除去 ${{2}^{19}}\times{{3}^{20}}=\frac{{{6}^{20}}}{2}$，其余的因数可分为 $\frac{{{40}^{2}}-1-1}{2}=799$ 对，每一对的乘积为 ${{2}^{38}}\times{{3}^{40}}$，将大的作为 $x-\frac{{{6}^{20}}}{2}$，小的作为 $\frac{y-{{6}^{20}}}{2}$．因此，所求的 $\left(x y \right)$ 的个数为799．
即 $\left(x-\frac{{{6}^{20}}}{2} \right)\left( y-\frac{{{6}^{20}}}{2}\right)=\frac{{{6}^{40}}}{4}={{2}^{38}}\times {{3}^{40}}$．
${{2}^{38}}\times{{3}^{40}}$ 有 $\left( 38+1 \right)\left( 40+1 \right)={{40}^{2}}-1$ 个因数，除去 ${{2}^{19}}\times{{3}^{20}}=\frac{{{6}^{20}}}{2}$，其余的因数可分为 $\frac{{{40}^{2}}-1-1}{2}=799$ 对，每一对的乘积为 ${{2}^{38}}\times{{3}^{40}}$，将大的作为 $x-\frac{{{6}^{20}}}{2}$，小的作为 $\frac{y-{{6}^{20}}}{2}$．因此，所求的 $\left(x y \right)$ 的个数为799．
答案
解析
备注
