使得 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{x+1}{y+1}$ 同时是整数，并且满足 $y<x\leqslant 100$ 的正整数对 $\left( x ,y \right)$ 有多少个？
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
85
【解析】
假定 $\frac{x+1}{y+1}=m$ 对某个整数 $m>1$ 成立，则 $x=my+\left( m-1 \right)$．（1）
因为 $y$ 是 $x$ 的因数，所以 $y$ 一定是 $m-1$ 的因数．因此存在正整数 $k$，使得 $m-1=ky$，即 $m=ky+1$，代入（1）得 $x=\left( ky+1 \right)y+ky$，即 $x=ky\left( y+1\right)+y$．
由 $x\leqslant 100$ 推出 $k\leqslant\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)}$．
所以 $k$ 的个数为 $\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]$．又 $y\geqslant 10$ 时，$\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]=0$，因在线正整数对 $\left( x , y \right)$ 的个数为
$\displaystyle \sum\limits_{y=1}^{9}{\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]}=\sum\limits_{y=1}^{9}{\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]}$
$=\left[\frac{99}{2} \right]+\left[ \frac{98}{6} \right]+\left[ \frac{97}{12}\right]+\left[ \frac{96}{20} \right]+\left[ \frac{95}{30} \right]+\left[\frac{94}{42} \right]+\left[ \frac{93}{56} \right]+\left[ \frac{92}{72}\right]+\left[ \frac{91}{90} \right]$
$=49+16+8+4+3+2+1+1+1$
$=85$．
因为 $y$ 是 $x$ 的因数，所以 $y$ 一定是 $m-1$ 的因数．因此存在正整数 $k$，使得 $m-1=ky$，即 $m=ky+1$，代入（1）得 $x=\left( ky+1 \right)y+ky$，即 $x=ky\left( y+1\right)+y$．
由 $x\leqslant 100$ 推出 $k\leqslant\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)}$．
所以 $k$ 的个数为 $\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]$．又 $y\geqslant 10$ 时，$\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]=0$，因在线正整数对 $\left( x , y \right)$ 的个数为
$\displaystyle \sum\limits_{y=1}^{9}{\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]}=\sum\limits_{y=1}^{9}{\left[\frac{100-y}{y\left( y+1 \right)} \right]}$
$=\left[\frac{99}{2} \right]+\left[ \frac{98}{6} \right]+\left[ \frac{97}{12}\right]+\left[ \frac{96}{20} \right]+\left[ \frac{95}{30} \right]+\left[\frac{94}{42} \right]+\left[ \frac{93}{56} \right]+\left[ \frac{92}{72}\right]+\left[ \frac{91}{90} \right]$
$=49+16+8+4+3+2+1+1+1$
$=85$．
答案
解析
备注
