求方程 $\tan \left( 19x{}^\circ \right)=\frac{\cos 96{}^\circ +\sin 96{}^\circ }{\cos 96{}^\circ -\sin 96{}^\circ }$ 的最小正整数解．
【难度】
【出处】
1996年第14届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
159
【解析】
【由等式 $\frac{\cos A+\sin A}{\cos A-\sin A}=\frac{1+\tan A}{1-\tan A}=\frac{\tan 45{}^\circ +\tan A}{\tan 45{}^\circ \tan A}=\tan \left(45{}^\circ +A \right)$ 知已知方程等价于
$\tan \left(19x{}^\circ \right)=\tan \left(45{}^\circ +96{}^\circ \right)=\tan141{}^\circ $．
所以 $19x=141+180y=19\left(7+9y \right)+\left( 8+9y \right)$，其中 $y$ 为整数，即 $x=7+9y+\frac{8+9y}{19}$．
为使 $x$ 为最小的正整数，对应的 $y$ 必为最小．令 $8+9y=19z$，其中 $z$ 为正整数，则 $y=2z+\frac{z-8}{9}$．
当 $z$ 取最小值 $ z=8$ 时，$y$ 的最小值为 $y=16$，相对应的 $x$ 的最小值为 $x=159$．
$\tan \left(19x{}^\circ \right)=\tan \left(45{}^\circ +96{}^\circ \right)=\tan141{}^\circ $．
所以 $19x=141+180y=19\left(7+9y \right)+\left( 8+9y \right)$，其中 $y$ 为整数，即 $x=7+9y+\frac{8+9y}{19}$．
为使 $x$ 为最小的正整数，对应的 $y$ 必为最小．令 $8+9y=19z$，其中 $z$ 为正整数，则 $y=2z+\frac{z-8}{9}$．
当 $z$ 取最小值 $ z=8$ 时，$y$ 的最小值为 $y=16$，相对应的 $x$ 的最小值为 $x=159$．
答案
解析
备注
