长方体 $P$ 的棱长为整数 $a$，$b$，$c$，$a\leqslant b\leqslant c$，如果可以用一个与 $P$ 的某个面平行的平面将 $P$ 截为两个体积不为零的长方体，使得其中一个与 $P$ 相似，那么，当 $b=1995$ 时，这样的数组 $\left( a, b ,c \right)$ 有多少个？
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
40
【解析】
截面与长为 $c$ 的边平行时，截得的棱柱均有一边为 $c$ 而体积小于 $P$，因此不可能与 $P$ 相似．所以截面必与 $c$ 相交，截得一个与 $P$ 相似的棱柱，边长为 $b$，$a$，$x$．由相似性可知，必有 $\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{x}{a}$．从而 $c=\frac{{{1995}^{2}}}{a}=\frac{{{3}^{2}}\times{{5}^{2}}\times {{7}^{2}}\times {{19}^{2}}}{a}$．
${{3}^{2}}\times{{5}^{2}}\times {{7}^{2}}\times {{19}^{2}}$ 共有 $\left( 2+1\right)\times \left( 2+1 \right)\times \left( 2+1 \right)\times \left( 2+1\right)=81$ 个因数，除去 $b=3\times 5\times 7\times 19$，其余因数两两配对，每一对的乘积为 ${{3}^{2}}\times{{5}^{2}}\times {{7}^{2}}\times {{19}^{2}}$，其中恰有一个大于 $b$，一个小于 $b$．所以 $a$ 有40种（从而 $c$ 有40种，$x=\frac{{{a}^{2}}}{1995}$ 也有40种），即有40个有序3数组 $\left( a b c \right)$ 使所述的平面存在．
${{3}^{2}}\times{{5}^{2}}\times {{7}^{2}}\times {{19}^{2}}$ 共有 $\left( 2+1\right)\times \left( 2+1 \right)\times \left( 2+1 \right)\times \left( 2+1\right)=81$ 个因数，除去 $b=3\times 5\times 7\times 19$，其余因数两两配对，每一对的乘积为 ${{3}^{2}}\times{{5}^{2}}\times {{7}^{2}}\times {{19}^{2}}$，其中恰有一个大于 $b$，一个小于 $b$．所以 $a$ 有40种（从而 $c$ 有40种，$x=\frac{{{a}^{2}}}{1995}$ 也有40种），即有40个有序3数组 $\left( a b c \right)$ 使所述的平面存在．
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