在不能表示成42的正整数倍与一个合数之和的正整数中，最大的是几？
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
215
【解析】
设这个数为 $42n+p$，其中 $n$ 为非负整数，$p$ 为小于42的素数或1．
由于 $2\times42\text{+}1$，$42+2$，$42+3$，$42\times 5+5$，$42+7$，$2\times 42+11$，$42+13$，$4\times 42+17$，$3\times 42+19$，$42+23$，$3\times 42+29$，$2\times 42+31$，$4\times 42+37$，$2\times 42+41$ 都是合数，所以在 $n\geqslant 5$ 时，$42n+p$ 都可表示成42的正整数倍与合数之和，只有 $42\times5+5$ 例外．因此，所求的数就是 $42\times 5+5=215$．
由于 $2\times42\text{+}1$，$42+2$，$42+3$，$42\times 5+5$，$42+7$，$2\times 42+11$，$42+13$，$4\times 42+17$，$3\times 42+19$，$42+23$，$3\times 42+29$，$2\times 42+31$，$4\times 42+37$，$2\times 42+41$ 都是合数，所以在 $n\geqslant 5$ 时，$42n+p$ 都可表示成42的正整数倍与合数之和，只有 $42\times5+5$ 例外．因此，所求的数就是 $42\times 5+5=215$．
答案
解析
备注
