由9条水平线与9条竖直线组成的 $8\times 8$ 的棋盘共形成 $r$ 个矩形，其中有 $s$ 个正方形．$\frac{s}{r}$ 的值可以由 $\frac{m}{n}$ 的形式表示，其中 $m$，$n$ 均为正整数，且 $\frac{m}{n}$ 是既约分数，求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
125
【解析】
注意到一个矩形必须由两条竖直线与两条水平线组成，因为棋盘中有9条竖直线及9条水平直线．故可以组成的矩形的总数为 ${{\left(\text{C}_{9}^{2} \right)}^{2}}=1296$．当然，其中的64个为 $1\times 1$ 的正方形，49个为 $2\times 2$ 的正方形．一般地，可以推出有 ${{\left(9-j \right)}^{2}}$ 个 $j\times j$ 的正方形，这是因为每一个正方形都是由它的大小及其左上角位置决定．因此，在这个 $8\times8$ 的棋盘上所包含的正方形个数为 $64+49+36+25+16+9+4+1=204$．
从而 $\frac{s}{r}=\frac{204}{1296}=\frac{17}{108}$．
故 $m+n=17+108=125$．
记9条水平线从上至下依次为 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{9}}$，9条竖直线从左至右依次为 ${{b}_{1}}$，${{b}_{2}}$，…，${{b}_{9}}$．我们用 $\left( {{a}_{i}},{{a}_{j}},{{b}_{k}},{{b}_{l}} \right)$ $\left( 1\leqslant i<j\leqslant 9 \\ 1\leqslant k<l\leqslant 9 \right)$ 表示直线 ${{a}_{i}}$，${{a}_{j}}$，${{b}_{k}}$，${{b}_{l}}$ 所形成的矩形，且每个矩形恰对应一个 $\left( {{a}_{i}} {{a}_{j}} {{b}_{k}} {{b}_{l}}\right)$ $\left( 1\leqslant i<j\leqslant 9 1\leqslant k<l\leqslant 9 \right)$．由于 ${{a}_{i}}$，${{a}_{j}}$ 的取法有 $\text{C}_{9}^{2}$ 种，同样地，${{b}_{k}}$，${{b}_{l}}$ 的取法有 $\text{C}_{9}^{2}$ 种，故 $r=\text{C}_{9}^{2}\cdot\text{C}_{9}^{2}={{36}^{2}}$．又 $\left( {{a}_{i}} , {{a}_{j}},{{b}_{k}},{{b}_{l}} \right)$（$1\leqslant i<j\leqslant 9$，$1\leqslant k<l\leqslant 9$）表示正方形时，有 $j-i=l-k$，且当 $j-i=l-k=p\left( 1\leqslant p\leqslant 8 \right)$ 时，${{a}_{i}}$，${{a}_{j}}$ 及 ${{b}_{k}}$，${{b}_{l}}$ 的取法分别各有 $9-p$ 种取法，故 $\displaystyle S=\sum\limits_{p=1}^{8}{{{\left(9-p \right)}^{2}}}=\frac{1}{6}\times 8\times 9\times 17=12\times 17$，从而 $\frac{m}{n}=\frac{s}{r}=\frac{12\times17}{{{36}^{2}}}=\frac{17}{108}$，故 $m+n=17+108=125$．
从而 $\frac{s}{r}=\frac{204}{1296}=\frac{17}{108}$．
故 $m+n=17+108=125$．
记9条水平线从上至下依次为 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{9}}$，9条竖直线从左至右依次为 ${{b}_{1}}$，${{b}_{2}}$，…，${{b}_{9}}$．我们用 $\left( {{a}_{i}},{{a}_{j}},{{b}_{k}},{{b}_{l}} \right)$ $\left( 1\leqslant i<j\leqslant 9 \\ 1\leqslant k<l\leqslant 9 \right)$ 表示直线 ${{a}_{i}}$，${{a}_{j}}$，${{b}_{k}}$，${{b}_{l}}$ 所形成的矩形，且每个矩形恰对应一个 $\left( {{a}_{i}} {{a}_{j}} {{b}_{k}} {{b}_{l}}\right)$ $\left( 1\leqslant i<j\leqslant 9 1\leqslant k<l\leqslant 9 \right)$．由于 ${{a}_{i}}$，${{a}_{j}}$ 的取法有 $\text{C}_{9}^{2}$ 种，同样地，${{b}_{k}}$，${{b}_{l}}$ 的取法有 $\text{C}_{9}^{2}$ 种，故 $r=\text{C}_{9}^{2}\cdot\text{C}_{9}^{2}={{36}^{2}}$．又 $\left( {{a}_{i}} , {{a}_{j}},{{b}_{k}},{{b}_{l}} \right)$（$1\leqslant i<j\leqslant 9$，$1\leqslant k<l\leqslant 9$）表示正方形时，有 $j-i=l-k$，且当 $j-i=l-k=p\left( 1\leqslant p\leqslant 8 \right)$ 时，${{a}_{i}}$，${{a}_{j}}$ 及 ${{b}_{k}}$，${{b}_{l}}$ 的取法分别各有 $9-p$ 种取法，故 $\displaystyle S=\sum\limits_{p=1}^{8}{{{\left(9-p \right)}^{2}}}=\frac{1}{6}\times 8\times 9\times 17=12\times 17$，从而 $\frac{m}{n}=\frac{s}{r}=\frac{12\times17}{{{36}^{2}}}=\frac{17}{108}$，故 $m+n=17+108=125$．
答案
解析
备注
