对整数1，2，3，…，10的每一个排列 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{10}}$，作和
$\left| {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right|+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{4}} \right|+\left| {{a}_{5}}-{{a}_{6}} \right|+\left| {{a}_{7}}-{{a}_{8}} \right|+\left| {{a}_{9}}-{{a}_{10}} \right|$ 全部这样的和的平均值能写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，这里 $p$，$q$ 是互素的正整数．求 $p+q$．
$\left| {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right|+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{4}} \right|+\left| {{a}_{5}}-{{a}_{6}} \right|+\left| {{a}_{7}}-{{a}_{8}} \right|+\left| {{a}_{9}}-{{a}_{10}} \right|$ 全部这样的和的平均值能写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，这里 $p$，$q$ 是互素的正整数．求 $p+q$．
【难度】
【出处】
1996年第14届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
58
【解析】
差 $\left| {{a}_{i}}-{{a}_{j}} \right|\left( i,j\in \left\{ 1 ,2,3,\cdots,10 \right\} i\ne y \right)$ 有如下的45种：\[\begin{matrix}\hline
2-1 & 3-1 & \cdots &10-1 \\\hline
{}& {} & \cdots & 10-2 \\\hline
{}& {} & \ddots & \vdots \\\hline
{}& {} & {} & 10-9 \\\hline
\end{matrix}\]这45种的和为 $ 1\times 9+2\times 8+3\times7+4\times 6+5\times 5+6\times 4+7\times 3+8\times 2+9\times 1=165 $．
每一种出现的次数相同，而在和 $ \left| {{a}_{1}}-{{a}_{2}}\right|+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{4}} \right|+\left| {{a}_{5}}-{{a}_{6}}\right|+\left| {{a}_{7}}-{{a}_{8}} \right|+\left| {{a}_{9}}-{{a}_{10}} \right| $ 中有5种，所以 $ \frac{p}{q}=\frac{5}{45}\times165=\frac{55}{3} $，$ p+q=55+3=58$．
2-1 & 3-1 & \cdots &10-1 \\\hline
{}& {} & \cdots & 10-2 \\\hline
{}& {} & \ddots & \vdots \\\hline
{}& {} & {} & 10-9 \\\hline
\end{matrix}\]这45种的和为 $ 1\times 9+2\times 8+3\times7+4\times 6+5\times 5+6\times 4+7\times 3+8\times 2+9\times 1=165 $．
每一种出现的次数相同，而在和 $ \left| {{a}_{1}}-{{a}_{2}}\right|+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{4}} \right|+\left| {{a}_{5}}-{{a}_{6}}\right|+\left| {{a}_{7}}-{{a}_{8}} \right|+\left| {{a}_{9}}-{{a}_{10}} \right| $ 中有5种，所以 $ \frac{p}{q}=\frac{5}{45}\times165=\frac{55}{3} $，$ p+q=55+3=58$．
答案
解析
备注
