从1到1000的整数中，有多少个能够表示为两个非负整数的平方差？
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
750
【解析】
由于 ${{k}^{2}}-{{\left( k-1 \right)}^{2}}=2k-1\left( k\in \mathbf{N}\right)$，${{\left( k+1 \right)}^{2}}-{{\left( k-1 \right)}^{2}}=4k\left( k\in\mathbf{N} \right)$，故一切形如 $2k-1$ 及 $4k\left( k\in \mathbf{N} \right)$ 的数均表示为两个非负整数的平方差．而对于形如 $4k-2\left(k\in \mathbf{N} \right)$ 的整数 $a$，若其能表示为两个整数的平方差，则不妨设 $a={{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\left( x-y \right)\left( x+y \right)$，由于 $x-y$ 与 $x+y$ 奇偶性相同，故 $a$ 为奇数或 $4|a$，这与 $a$ 为 $4k-2\left(k\in \mathbf{N} \right)$ 型矛盾！故形如 $4k-2\left( k\in \mathbf{N} \right)$ 的数均不能表示为两个非负整数的平方差．
故由上述分析知，在1到1000的整数中能表示为两个非负整数的平方差的数有且仅有所有奇数及所有4的倍数，故所求个数为 $500+250=750$ 个．
故由上述分析知，在1到1000的整数中能表示为两个非负整数的平方差的数有且仅有所有奇数及所有4的倍数，故所求个数为 $500+250=750$ 个．
答案
解析
备注
