函数 $f(x)=2(2\cos x+1)\sin^2 x+\cos 3x , x \in \mathbb R$．求函数 $f(x)$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {17}{8}$
【解析】
由题意得\[\begin{split}f(x)&=2(2\cos x +1)\sin^2 x+\cos 3x \\&= 2\sin 2x \sin x+2\sin ^2 x +\cos (2x+x)\\ &= \sin 2x \sin x+\cos 2x\cos x +2\sin ^2x\\&= \cos(2x-x)+2\sin ^2x\\&= -2\cos ^2x+\cos x +2 \\&= -2\left(\cos x-\dfrac 14\right)^2+\dfrac {17}{8} \leqslant \dfrac {17}{8} ,\end{split}\]当 $\cos x=\dfrac 14$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值 $\dfrac {17}{8}$．
答案
解析
备注
