若存在 $M$，使任意 $t \in D$（$D$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的定义域），都有 $\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant M$，则称函数 $f\left( x \right)$ 有界．问函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$ 上是否有界？
【难度】
【出处】
2004年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
无界
【解析】
用反证法证明如下：
若函数有界，且 $M$ 为函数的界，则对任意 $M$，总存在$$t \in \left\{ {x\left|\dfrac{1}{x} \right.= 2k{\rm{\pi }} + \dfrac{{\rm{\pi }}}{2},k \in {\bf{Z}}} \right\}, t < \dfrac{1}{M},$$于是$$f\left( t \right) = \dfrac{1}{t}\sin \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{t} > M,$$从而 $\left| {f\left( t \right)} \right| > M$，矛盾．所以函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$ 上无界．
若函数有界，且 $M$ 为函数的界，则对任意 $M$，总存在$$t \in \left\{ {x\left|\dfrac{1}{x} \right.= 2k{\rm{\pi }} + \dfrac{{\rm{\pi }}}{2},k \in {\bf{Z}}} \right\}, t < \dfrac{1}{M},$$于是$$f\left( t \right) = \dfrac{1}{t}\sin \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{t} > M,$$从而 $\left| {f\left( t \right)} \right| > M$，矛盾．所以函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$ 上无界．
答案
解析
备注
