题目 无穷数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 定义如下：${a_1} = 1$，${a_2} = {a_3} = 2$，${a_4} = {a_5} = {a_6} = 3$，… 问题1 给定自然数 $n$，求使 ${a_i} = n$ 的 $i$ 的范围； 答案1 $\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 \leqslant i \leqslant \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + n$ 解析1 归纳易知 ${a_i} = n$，$\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 \leqslant i \leqslant \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + n$． 备注1 问题2 令 ${b_m} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{2{m^2}}}$，求 $\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \dfrac{{{b_m}}}{{{m^3}}}$． 答案2 $\dfrac{8}{3}.$ 解析2 因为$$\begin{split}{a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} &= 1 + {2^2} + {3^2} + \cdots + {n^2}\\ &= \frac{1}{6}n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right),\end{split}$$取 $n = 2m - 1$，则$${a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{2{m^2} - m}} = \frac{m}{3}\left( {2m - 1} \right)\left( {4m - 1} \right),$$所以$$\begin{split}{b_m} &= \frac{m}{3}\left( {2m - 1} \right)\left( {4m - 1} \right) + m\left( {n + 1} \right)\\ &= \frac{8}{3}m\left( {m - \frac{1}{2}} \right)\left( {m - \frac{1}{4}} \right) + 2{m^2}.\end{split}$$因此$$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \frac{{{b_m}}}{{{m^3}}} = \frac{8}{3}.$$ 备注2