求证：$1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{2^3}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{3^3}} }} + \cdots + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3}} }} < 3$．
【难度】
【出处】
2004年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$\dfrac{1}{{\sqrt n \cdot \sqrt {n - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} \cdot \sqrt n }} = \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} }}{{\sqrt {{n^3} - n} }},$$所以\[\begin{split}\dfrac{1}{{\sqrt {{n^3}} }} &< \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} - n} }} \\&= \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} }}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt n \cdot \sqrt {n - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} \cdot \sqrt n }}} \right)\\& = \dfrac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n - 1} }}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{{\sqrt n \cdot \sqrt {n - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} \cdot \sqrt n }}} \right)\\ &< \sqrt n \cdot \left( {\dfrac{1}{{\sqrt n \cdot \sqrt {n - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} \cdot \sqrt n }}} \right) \\&= \dfrac{1}{{\sqrt {n - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}.\end{split}\]所以$$ LHS < 1 + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} < 2 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} < 3.$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
