求证：边长为 $1$ 的正五边形对角线长为 $\dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$．
【难度】
【出处】
2008年北京大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，对角线 $AD,CE$ 交于点 $F$．
设 $AC = AD = CE = x$，则$$\triangle AFC\sim\triangle DFE,$$于是$$\dfrac{{AF}}{{DF}} = \dfrac{{AC}}{{DE}},$$即$$\dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{x}{1},$$也即$${x^2} - x - 1 = 0,$$解得 $x = \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$．得证．
设 $AC = AD = CE = x$，则$$\triangle AFC\sim\triangle DFE,$$于是$$\dfrac{{AF}}{{DF}} = \dfrac{{AC}}{{DE}},$$即$$\dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{x}{1},$$也即$${x^2} - x - 1 = 0,$$解得 $x = \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$．得证．
答案
解析
备注
