在正四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，底面 $ABCD$ 的边长为 $4$，侧棱 $C{C_1}$ 长为 $3$，又 $E$ 为 $C{C_1}$ 上一点，且 $CE = 1$．
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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求 ${B_1}D$ 与平面 $BDE$ 所成角的正弦值；标注答案$\dfrac{{2\sqrt {82} }}{{41}}$解析如图，利用等体积法．
易知 $E$ 到平面 $B_1BD$ 的距离为 $2\sqrt2 $，$\triangle B_1BD$ 的面积为 $6\sqrt 2$．
所以四面体 $E-BDB_1$ 的体积$$V={\dfrac 13}\cdot 2\sqrt2 \cdot 6\sqrt 2.$$容易求得 $\triangle BDE$ 的面积为 $6\sqrt 2$，设 $B_1$ 到平面 $BDE$ 的距离为 $d$，则$$V={\dfrac 13}\cdot 6\sqrt2 \cdot d,$$所以 $d=2\sqrt 2$．
因此 ${B_1}D$ 与平面 $BDE$ 所成角的正弦值为$$\dfrac {d}{B_1D}=\dfrac{{2\sqrt {82} }}{{41}}.$$ -
求四面体 $A - BE{D_1}$ 的体积．标注答案$\dfrac{{16}}{3}$解析如图．
四面体 $A - BE{D_1}$ 的体积即为四面体 $E- AB{D_1}$ 的体积，即为四面体 $C- AB{D_1}$ 体积的 $\dfrac 23$．
四面体 $C- AB{D_1}$ 体积是长方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 体积的 $\dfrac 16$，所以四面体 $A - BE{D_1}$ 的体积等于长方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 体积的 $\dfrac 19$，故体积为 $\dfrac {16}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
