已知函数 $y = f\left( x \right)$ 的图象与函数 $g\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 2$ 的图象关于点 $\left( {0, 1} \right)$ 对称．
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
-
求函数 $y = f\left( x \right)$ 的解析式；标注答案$y = \dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)$解析因为 $\left( {x, y} \right)$ 关于点 $\left( {0, 1} \right)$ 对称的点为 $\left( { - x, 2 - y} \right)$，所以$$2 - y = \dfrac{1}{2}\left( { - x + \dfrac{1}{{ - x}}} \right) + 2,$$即 $y = \dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)$ 为所求．
-
若正数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且满足关系式 ${S_n} = f\left( {{a_n}} \right),n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，求证：$\dfrac{1}{{S_3^2}} + \dfrac{1}{{S_5^2}} + \cdots + \dfrac{1}{{S_{2n + 1}^2}} < \ln {S_{n + 1}}$．标注答案略解析因为 $f\left( {{a_n}} \right) = f\left( {{S_n} - {S_{n - 1}}} \right) = {S_n}$，所以$$\dfrac{1}{2}\left( {{S_n} - {S_{n - 1}} + \dfrac{1}{{{S_n} - {S_{n - 1}}}}} \right) = {S_n},$$故$$S_n^2 - S_{n - 1}^2 = 1,$$又$${S_1} = {a_1} = f\left( {{a_1}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{a_1} + \dfrac{1}{{{a_1}}}} \right),$$所以解得 ${a_1} = 1$，因此 $S_n^2 = n$．
欲证命题为$$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{{2n + 1}} < \dfrac{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{2},$$下面用数学归纳法证明．归纳假设 当 $n = 1$ 时，命题显然成立．递推证明 若 $n=k$ 时，命题成立，即$$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{{2k + 1}} < \dfrac{{\ln \left( {k + 1} \right)}}{2},$$则当 $n=k + 1$ 时，只需要证明$$\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{k + 2}}{{k + 1}} - \dfrac{1}{{2k + 3}} \geqslant 0,$$设 $\dfrac{1}{{k + 1}} = x$，则 $0 < x \leqslant \dfrac{1}{2}$，上述不等式变为$$\dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{x}{{x + 2}} \geqslant 0,$$设 $h\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{x}{{x + 2}}$，则 $h\left( 0 \right) = 0$，而$$h'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{1 + x}} - \dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{4x + 4}} - \dfrac{2}{{{x^2} + 4x + 4}} > 0,$$所以 $h\left( x \right)$ 在 $\left( {0, \dfrac{1}{2}} \right]$ 上是单调递增函数．
于是当 $0 < x \leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$\dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{x}{{x + 2}} \geqslant 0$．
因此原命题成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
