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排球单循环赛，每场比赛获胜队得 $1$ 分，另一队得 $0$ 分．南方球队比北方球队多 $9$ 支，南方球队总得分是北方球队的 $9$ 倍．求证：冠军是一支南方球队．
【难度】
【出处】
2008年北京大学自主招生保送生测试
【标注】
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    组合证明
【答案】
略
【解析】
设北方球队共有 $x$ 支，则南方球队有 $x + 9$ 支，所有球队总得分为$${\text{C}}_{2x + 9}^2 = \frac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right).$$南方球队总得分为$$\frac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}},$$北方球队总得分为$$\frac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}},$$南方球队内部比赛总得分 ${\text{C}}_{x + 9}^2$，北方球队内部比赛总得分 ${\text{C}}_x^2$，则$$\frac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} \geqslant 0,$$解得$$\frac{{11 - \sqrt {229} }}{3} \leqslant x \leqslant \frac{{11 + \sqrt {229} }}{3} < \frac{{11 + 16}}{3} = 9.$$因为 $\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}}$ 为整数，解得：$x = 6$ 或 $x = 8$．
情形一当 $x = 6$ 时，
所有球队总得分为$${\text{C}}_{2x + 9}^2 = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right) = 210,$$南方球队总得分为$$ \frac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 189,$$北方球队总得分为$$\frac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 21.$$南方球队内部比赛总得分 ${\text{C}}_{x + 9}^2 = 105$，北方球队内部比赛总得分 ${\text{C}}_x^2 = 15$．
北方胜南方得分 $21 - 15 = 6$，北方球队最高得分 $5 + 6 = 11$．
因为$$11 \times 15 = 165 < 189,$$所以南方球队中至少有一支得分超过 $11$ 分．
因此，冠军在南方球队中．
情形二当 $x = 8$ 时，
所有球队总得分为$${\text{C}}_{2x + 9}^2 = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right) = 300,$$南方球队总得分为$$\frac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 270,$$北方球队总得分为$$\frac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 30.$$南方球队内部比赛总得分 ${\text{C}}_{x + 9}^2 = 136$，北方球队内部比赛总得分 ${\text{C}}_x^2 = 28$，北方胜南方得分 $30 - 28 = 2$，北方球队最高得分 $7 + 2 = 9$．
因为$$9 \times 17 = 153 < 270,$$所以南方球队中至少有一支得分超过9分．
因此，冠军在南方球队中．
综上所述，冠军是一支南方球队．
答案 解析 备注
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