直线 $m$ 的方程为 $y=kx+1$，$A$，$B$ 为直线 $m$ 上的两点，其横坐标恰为关于 $x$ 的一元二次方程 $(1-k^2)x^2-2kx-2=0$ 的两个不同的负实数根．直线 $l$ 过点 $P(-2,0)$ 和线段 $AB$ 的中点，$CD$ 是 $y$ 轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线 $l$，使得所有的直线 $l$ 与线段 $CD$ 均无公共点，$CD$ 长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
存在，最大值为 $4+\sqrt 2$
【解析】
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=\dfrac { 2k}{1-k^2}.$$记线段 $AB$ 的中点为 $M$，则$$\begin{cases}x_M=\dfrac {x_1+x_2}{2}=\dfrac {k}{1-k^2},\\y_M=k{x_M}+1=\dfrac {1}{1-k^2}.\end{cases}$$设直线 $l$ 交 $y$ 轴于 $Q(0,b)$，根据 $P(-2,0)$，$Q(0,b)$，$M\left(\dfrac {k}{1-k^2},\dfrac {1}{1-k^2}\right)$ 三点共线得$$\dfrac {b-0}{0-(-2)}=\dfrac {\dfrac {1}{1-k^2}-0}{\dfrac {k}{1-k^2}-(-2)},$$于是$$b=\dfrac {1}{-k^2+\dfrac {k}{2}+1}.$$又 $x_1$，$x_2$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $(1-k^2)x^2-2kx-2=0 $ 的两个不同的负实数根，知$$\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac {2k}{1-k^2}<0,\\ x_1x_2=\dfrac {-2}{1-k^2}>0,\\ \Delta=4k^2+8(1-k^2)>0.\end{cases}$$解得$$1<k<\sqrt 2,$$于是$$b=\dfrac {1}{-k^2+\dfrac {k}{2}+1} \in (-\infty,-(2+\sqrt 2))\cup (2,+\infty),$$所以线段 $CD$ 长的最大值存在，且 $|CD|_{\max}=4+\sqrt 2$．
答案
解析
备注
