已知函数 $f(x)=\left(x^2-x-1\right){\rm e}^x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求函数 $f(x)$ 的单调区间；标注答案函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,-2)$ 和 $(1,+\infty)$；函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(-2,1)$解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x(x-1)(x+2),\]于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline
x&(-\infty,-2)&-2&(-2,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline
f(x)&\nearrow&5{\rm e}^{-2}&\searrow&-{\rm e}&\nearrow \\ \hline\end{array}\] -
若方程 $a\left(\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}+1\right)+{\rm e}x={\rm e}^x$ 在 $(0,1)$ 内有解，求实数 $a$ 的取值范围．标注答案$(-\infty,0)$解析题中方程即\[a(x-1)-\dfrac{{\rm e}^x}{x}+{\rm e}=0,\]设方程左侧为函数 $\varphi(x)$，注意到 $\varphi(1)=0$，考虑其导函数\[\varphi'(x)=a+\dfrac{1-x}{x^2}\cdot {\rm e}^x,\]有 $\varphi'(1)=a$，端点分析可得 $a=0$ 为讨论分界点．
情形一 $a\geqslant 0$．此时 $\varphi(x)$ 的二阶导函数\[\varphi''(x)=-\dfrac{x^2-2x+2}{x^3}\cdot {\rm e}^x,\]于是 $\varphi'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，结合 $\varphi'(1)\geqslant 0$ 可得 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，又 $\varphi(1)=0$，因此在 $(0,1)$ 上 $\varphi(x)<0$，不符合题意．情形二 $a<0$．此时取 $x_1=\min\left\{\dfrac 12,\sqrt{\dfrac{1}{-2a}}\right\}$，则\[\varphi'(x_1)>a+\dfrac{1-x}{x^2}\geqslant a+\dfrac 1{2x^2}\geqslant 0,\]于是 $\varphi'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点，设为 $m$，进而\[\begin{array} {c|cccc}\hline
x&(0,m)&m&(m,1)&1\\ \hline
\varphi'(x)&+&0&-& \\ \hline
\varphi(x)&\nearrow&+&\searrow &0\\ \hline
\end{array}\]又当 $x_2=\dfrac{\rm e}{-a+{\rm e}}$ 时，有\[\varphi(x_2)<-a-\dfrac{\rm e}{x}+{\rm e}=0,\]于是函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
