已知 $m>0$，若函数 $f(x)=x+\sqrt{100-mx}$ 的最大值为 $g(m)$，求 $g(m)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
令 $t=\sqrt{100-mx}$，则 $x=\dfrac{100-t^2}{m}$，所以$$y=\dfrac{100-t^2}{m}+t=-\dfrac 1m\left(t-\dfrac m2\right)^2+\dfrac{100}{m}+\dfrac m4,$$当 $t=\dfrac m2$ 时，$y$ 有最大值 $\dfrac{100}{m}+\dfrac m4$，即$$g(m)=\dfrac{100}{m}+\dfrac m4,$$所以$$g(m)=\dfrac{100}{m}+\dfrac m4 \geqslant 2\sqrt{\dfrac{100}{m}\times \dfrac m4}=10,$$等号当且仅当 $m=20$ 时成立．
因此当 $m=20$ 时，$g(m)$ 有最小值 $10$．
因此当 $m=20$ 时，$g(m)$ 有最小值 $10$．
答案
解析
备注
