在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以原点 $O$ 为圆心，分别以 $a,b(a>b>0)$ 为半径作两个圆．点 $Q$ 是大圆半径 $OP$ 与小圆的交点，过点 $P$ 作 $AN\perp Ox$ 垂足为 $N$，过点 $Q$ 作 $QM\perp PN$，垂足为 $M$，记当半径 $OP$ 绕点 $O$ 旋转时点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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求曲线 $E$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$解析设点 $M$ 的坐标是 $(x,y)$，取 $\angle{xOP}$ 为参数 $\varphi$，则 $\begin{cases}x=a\cos \varphi,\\ y=b\sin \varphi ,\end{cases}$ 消去参数 $\varphi$，得 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，即为曲线 $E$ 的方程．
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设 $A,B,C$ 为曲线 $E$ 上的三点，且满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，求 $\triangle{ABC}$ 的面积．标注答案$\dfrac{3\sqrt 3 ab}{4}$解析设 $A,B,C$ 的坐标依次为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，由上又可设 $A,B,C$ 的坐标依次为 $(a\cos \alpha,b\sin \alpha)$，$(a\cos \beta,b\sin \beta)$ 和 $(a\cos \gamma,b\sin \gamma)$，则由条件$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow(OB)+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$$得$$\begin{cases}a\cos \alpha+a\cos \beta+a\cos \gamma=0,\\ b\sin \alpha +b\sin \beta+b\sin \gamma=0,\end{cases}$$进而可化为$$\begin{cases}\cos \alpha +\cos \beta+\cos \gamma=0,\\ \sin \alpha +\sin \beta+\sin \gamma =0,\end{cases}$$消去 $\gamma$，得 $\cos(\beta-\alpha)=-\dfrac 12$，所以 $\sin(\beta -\alpha)=-\dfrac{\sqrt 3}{2}$ 或 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$，\[\begin{split}S_{\triangle{AOB}}&=\dfrac 12|x_1y_2-x_2y_1|\\&=\dfrac 12|ab\cos \alpha \sin \beta-ab\sin \alpha \cos \beta|\\&=\dfrac{ab}{2}|\sin(\beta-\alpha)|\\&=\dfrac{\sqrt 3 ab}{4}.\end{split}\]同理，得$$S_{\triangle{BOC}}=S_{\triangle{COA}}=\dfrac{\sqrt 3 ab}{4},$$所以$$S_{\triangle{ABC}}=S_{\triangle{AOB}}+S_{\triangle{BOC}}+S_{\triangle{COA}}=\dfrac{3\sqrt 3 ab}{4}.$$故三角形 $ABC$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt 3 ab}{4}$．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑（只需将黑点赋值为“$+1$”，白点赋值为“$-1$”，证法便完全相同）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
