已知二次函数 $y=f(x)=x^2+bx+c$ 的图象过点 $(1,13)$，且函数 $y=f\left(x-\dfrac 12\right)$ 是偶函数．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
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求 $f(x)$ 的解析式；标注答案$f(x)=x^2+x+11$解析因为函数 $y=f\left(x-\dfrac 12\right)$ 是偶函数，所以二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 的对称轴方程为$$-\dfrac b2=-\dfrac 12,$$故 $b=1$．
因为二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 的图象过点 $(1,13)$，所以$$1+b+c=13,$$解得 $c=11$．
因此，$f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^2+x+11$． -
函数 $y=f(x)$ 的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．标注答案存在，其坐标为 $(10,121)$解析如果函数 $y=f(x)$ 的图象上存在符合要求的点，设为 $P(m,n^2)$，其中 $m$ 为正整数，$n$ 为自然数，则$$m^2+m+11=n^2,$$从而$$4n^2-(2m+1)^2=43,$$即$$[2n+(2m+1)][2n-(2m+1)]=43.$$注意到 $43$ 是质数，且\[\begin{split}&2n+(2m+1)>2n-(2m+1),\\&2n+(2m+1)>0,\end{split}\]所以有$$\begin{cases}2n+(2m+1)=43,\\2n-(2m+1)=1,\end{cases}$$解得 $\begin{cases}m=10,\\n=11.\end{cases}$
因此，函数 $y=f(x)$ 的图象上存在符合要求的点，它的坐标为 $(10,121)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
