己知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left({x+y}\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)$，又 $f'\left(0\right)=1$，求函数 $f\left(x\right)$ 的解析式．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学连读班测试题
【标注】
【答案】
$f\left(x\right)=\dfrac{{{x^3}}}{3}+x$
【解析】
由$$f\left({x+y}\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right),$$得$$ \dfrac{{f\left({x+y}\right)-f\left(x\right)}}{y}=\dfrac{{f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)}}{y},$$所以$$ \mathop{\lim}\limits_{y\to0}\dfrac{{f\left({x+y}\right)-f\left(x\right)}}{y}=\mathop{\lim}\limits_{y\to0}\dfrac{{f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)}}{y},$$即$$ f'\left(x\right)=\mathop{\lim}\limits_{y\to 0}\left[{\dfrac{{f\left(y\right)}}{y}+x\left({x+y}\right)}\right].$$因为$$f'\left(0\right)=1,$$所以$$\mathop{\lim}\limits_{y\to0}\dfrac{{f\left(y\right)}}{y}=1.$$所以$$f'\left(x\right)=1+{x^2}.$$于是$$f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}{x^3}+x+C.$$经检验，$C=0$，所以 $f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}{x^3}+x$ 为所求．
答案
解析
备注
