若 $\alpha,\beta,\gamma$ 是任意实数，求$$\sqrt{|\sin\alpha-\sin\beta|}+\sqrt{|\sin\beta-\sin\gamma|}+\sqrt{|\sin\gamma-\sin\alpha|}$$的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2+\sqrt 2$
【解析】
记$$a=\sin\alpha,b=\sin\beta,c=\sin\gamma,$$由所求代数式的对称结构知，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，题目转化为：
已知 $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant -1$，求$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$的最大值．令$$x=\sqrt{a-b},y=\sqrt{b-c},z=\sqrt{a-c},$$则有$$x^2+y^2=z^2,x,y,z\in[0,\sqrt 2],$$求 $x+y+z$ 的最小值．
可以令$$x=z\cos\theta,y=z\sin\theta,\theta\in\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ],$$于是\[x+y+z=z(\cos\theta+\sin\theta+1)=z\left[\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac {\pi}{4}\right)+1\right ]\leqslant (\sqrt 2+1)z\leqslant 2+\sqrt 2.\]当且仅当 $z=\sqrt 2,x=y=1$ 时取到等号．
也可以由$$x+y\leqslant \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt 2z$$得到以上结果．
已知 $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant -1$，求$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$的最大值．令$$x=\sqrt{a-b},y=\sqrt{b-c},z=\sqrt{a-c},$$则有$$x^2+y^2=z^2,x,y,z\in[0,\sqrt 2],$$求 $x+y+z$ 的最小值．
可以令$$x=z\cos\theta,y=z\sin\theta,\theta\in\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ],$$于是\[x+y+z=z(\cos\theta+\sin\theta+1)=z\left[\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac {\pi}{4}\right)+1\right ]\leqslant (\sqrt 2+1)z\leqslant 2+\sqrt 2.\]当且仅当 $z=\sqrt 2,x=y=1$ 时取到等号．
也可以由$$x+y\leqslant \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt 2z$$得到以上结果．
答案
解析
备注
