设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $2a\cos C=2b-c$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求角 $A$ 的大小；标注答案$\dfrac{\pi}{3}$解析由 $2a\cos C=2b-c$ 得\[\sin A\cos C+\dfrac{1}{2}\sin C=\sin B.\]又\[\sin B=\sin(A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C,\]所以\[\dfrac{1}{2}\sin C=\cos A\sin C.\]因为 $\sin C\ne 0$，所以$$\cos A=\dfrac{1}{2},$$又因为 $0<A<\pi$，所以 $A=\dfrac{\pi}{3}$．
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若 $a=1$，求 $b+c$ 的取值范围．标注答案$(1,2]$解析由正弦定理得，$$\begin{split}b&=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin B,\\c&=\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin C,\end{split}$$所以\[\begin{split}b+c &=\dfrac{2}{\sqrt 3}(\sin B+\sin C)\\&=\dfrac{2}{\sqrt 3 }\left[\sin B+\sin (A+B)\right]\\&=2\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin B+\dfrac{1}{2}\cos B\right)\\&=2\sin \left(B+\dfrac{\pi}{6}\right).\end{split}\]因为 $A=\dfrac{\pi}{3}$，所以 $B\in\left(0,\dfrac{2\pi}{3}\right)$，故$$B+\dfrac{\pi}{6}\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right),$$从而 $\sin \left(B+\dfrac{\pi}{6}\right)\in\left(\dfrac{1}{2},1\right]$．
故 $b+c$ 的取值范围为 $(1,2]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
