如图，抛物线 $ y=-x^2-6x-5 $ 与 $x $ 轴交于点 $A\left(-5,0\right) $，$B\left(-1,0\right) $，与 $y $ 轴交于点 $C\left(0,-5\right) $，点 $P $ 是抛物线上的动点，连接 $PA$，$ PC $，$PC$ 与 $x $ 轴交于点 $D $．过点 $P $ 作 $y $ 轴的平行线交 $ x$ 轴于点 $H $，交直线 $AC $ 于点 $E $，$\triangle APE$ 能否为等腰三角形？若能，请求出此时点 $P $ 的坐标；若不能，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
① 当 $ E$ 在线段 $ AC $ 上时．
i）当 $ PA=PE $ 时．
由 $ OA=OC=5 $，得 $ \angle AEP=\angle PAE=\angle ACO=45^{\circ} $，
$\therefore$ $ \angle APE=90^{\circ} $．此时点 $ P $ 与点 $ B $ 重合．
$\therefore$ 此时点 $ P $ 的坐标为 $ \left(-1,0\right) $．
ii）当 $ AP=AE $ 时．由题意得 $ \angle APE=\angle AEP=45^{\circ} $．
又 $ PH\perp AO $，
$\therefore$ $ AH=PH $，即 $ -x^2-6x-5=x+5 $．
解得 $ x_1=-2 $，$ x_2=-5 $（舍）．
$\therefore$ 点 $ P $ 的坐标为 $ \left(-2,3\right) $．
② 当 $ E $ 在线段 $ AC $ 延长线上时．
$\because$ 点 $ A $，$ C $ 的坐标分别为 $ \left(-5,0\right) $，$\left(0,-5\right) $，
$\therefore$ 直线 $ AC $ 的解析式为 $ y=-x-5 $．
$\therefore$ 点 $ E $ 的坐标为 $ \left(x,-x-5\right) $．
i）当 $ PA=PE $ 时．
$ PE=-x-5-\left(-x^2-6x-5\right)= x^2+5x $．
又 $ AE=\sqrt{2}AH=\sqrt{2}\left(x+5\right) $，
则 $ x^2+5x=\sqrt{2}\left(x+5\right) $．
$\therefore$ $ \left(x+5\right)\left(\sqrt{2}-x\right)=0 $．
解得 $ x_1=\sqrt{2} $，$ x_1=-5 $（舍）．
ii）当 $ x=\sqrt{2} $ 时，$ y=-6\sqrt{2}-7 $．
$\therefore$ 此时点 $ P $ 的坐标为 $ \left(\sqrt{2},-6\sqrt{2}-7\right) $．
线段 $ CA $ 的延长线上不存在点 $ E $，使 $\triangle APE$ 为等腰三角形
综上所述可得点 $ P $ 的坐标为：$ \left(-2,3\right) $，$ \left(-1,0\right) $，或 $ \left(\sqrt{2},-6\sqrt{2}-7\right) $
i）当 $ PA=PE $ 时．
由 $ OA=OC=5 $，得 $ \angle AEP=\angle PAE=\angle ACO=45^{\circ} $，
$\therefore$ $ \angle APE=90^{\circ} $．此时点 $ P $ 与点 $ B $ 重合．
$\therefore$ 此时点 $ P $ 的坐标为 $ \left(-1,0\right) $．
ii）当 $ AP=AE $ 时．由题意得 $ \angle APE=\angle AEP=45^{\circ} $．
又 $ PH\perp AO $，
$\therefore$ $ AH=PH $，即 $ -x^2-6x-5=x+5 $．
解得 $ x_1=-2 $，$ x_2=-5 $（舍）．
$\therefore$ 点 $ P $ 的坐标为 $ \left(-2,3\right) $．
② 当 $ E $ 在线段 $ AC $ 延长线上时．
$\because$ 点 $ A $，$ C $ 的坐标分别为 $ \left(-5,0\right) $，$\left(0,-5\right) $，
$\therefore$ 直线 $ AC $ 的解析式为 $ y=-x-5 $．
$\therefore$ 点 $ E $ 的坐标为 $ \left(x,-x-5\right) $．
i）当 $ PA=PE $ 时．
$ PE=-x-5-\left(-x^2-6x-5\right)= x^2+5x $．
又 $ AE=\sqrt{2}AH=\sqrt{2}\left(x+5\right) $，
则 $ x^2+5x=\sqrt{2}\left(x+5\right) $．
$\therefore$ $ \left(x+5\right)\left(\sqrt{2}-x\right)=0 $．
解得 $ x_1=\sqrt{2} $，$ x_1=-5 $（舍）．
ii）当 $ x=\sqrt{2} $ 时，$ y=-6\sqrt{2}-7 $．
$\therefore$ 此时点 $ P $ 的坐标为 $ \left(\sqrt{2},-6\sqrt{2}-7\right) $．
线段 $ CA $ 的延长线上不存在点 $ E $，使 $\triangle APE$ 为等腰三角形
综上所述可得点 $ P $ 的坐标为：$ \left(-2,3\right) $，$ \left(-1,0\right) $，或 $ \left(\sqrt{2},-6\sqrt{2}-7\right) $
【解析】
略
答案
解析
备注
