已知函数 $f(x)=2\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right)+m(\sin x+\cos x)^4$ 在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 有最大值 $5$，求实数 $m$ 的值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由题意知\[\begin{split}f(x)&=2(\sin^2x+\cos ^2 x)^2-4\sin ^2 x \cos ^2 x+m(\sin x +\cos x)^4\\&=2-(2\sin x\cos x)^2+m(\sin x +\cos x)^4,\end{split}\]令 $t=\sin x+\cos x=\sqrt 2 \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\in[1,\sqrt 2]$，则$$2\sin x \cos x =t^2-1,$$而$$f(x)=2-(t^2-1)^2+mt^4=(m-1)t^4+2t^2+1.$$令 $u=t^2\in[1,2]$，由题意知$$g(u)=(m-1)u^2+2u+1$$在 $u\in[1,2]$ 有最大值 $5$．
当 $m-1=0$ 时，$g(u)=2u+1$ 在 $u=2$ 时有最大值 $5$，故 $m=1$ 符合条件；
当 $m=1>0$ 时，$g(u)_{\max}\geqslant g(2)>2\times 2+1=5$，矛盾；
当 $m-1<0$ 时，$g(u)<2u+1\leqslant 5$，矛盾．
综上所述，所求实数 $m=1$．
当 $m-1=0$ 时，$g(u)=2u+1$ 在 $u=2$ 时有最大值 $5$，故 $m=1$ 符合条件；
当 $m=1>0$ 时，$g(u)_{\max}\geqslant g(2)>2\times 2+1=5$，矛盾；
当 $m-1<0$ 时，$g(u)<2u+1\leqslant 5$，矛盾．
综上所述，所求实数 $m=1$．
答案
解析
备注
