题目

抛物线 $y=x^2$ 与过点 $P(-1,-1)$ 的直线 $l$ 交于 $P_1,P_2$ 两点．

【难度】

【出处】

2011年全国高中数学联赛四川省预赛

【标注】

求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围；
标注
答案

$(-2+2\sqrt 2,+\infty)\cup(-\infty,-2-2\sqrt 2)$

解析

直线 $l$ 的方程为 $y+1=k(x+1)$，与抛物线方程 $y=x^2$ 联立$$\begin{cases}y=x^2,\\y+1=k(x+1),\end{cases}$$消去 $y$ 得$$x^2=k(x+1)-1,$$即$$x^2-kx-(k-1)=0,$$由$$\Delta =(-k)^2+4(k-1)>0,$$解得 $k>-2+2\sqrt 2$ 或 $k<-2-2\sqrt 2$．
求在线段 $P_1P_2$ 上满足条件 $\dfrac 1{PP_1}+\dfrac 1{PP_2}=\dfrac 2{PQ}$ 的点 $Q$ 的轨迹方程．
标注
答案

$2x-y+1=0(-\sqrt 2 -1<x<\sqrt 2 -1{\text{且}}x\ne -1)$

解析

设 $Q$ 点坐标为 $(x,y)$，$P_1$ 点的坐标为 $(x_1,y_1)$，$P_2$ 点的坐标为 $(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=k,x_1x_2=-(k-1).$$又 $P_1,P_2,Q$ 都在直线 $l$ 上，所以有$$\begin{cases}y+1=k(x+1),\\y_1+1=k(x_1+1),\\y_2+1=k(x_2+1).\end{cases}$$由$$\dfrac 1{PP_1}+\dfrac 1{PP_2}=\dfrac 2{PQ}$$得\[\begin{split}&\dfrac 1{\sqrt{(x_1+1)^2+(y_1+1)^2}}+\dfrac 1{\sqrt{(x_2+1)^2+(y_2+1)^2}}\\=&\dfrac{2}{\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}},\end{split}\]化简得$$\dfrac 1{|x_1+1|}+\dfrac 1{|x_2+1|}=\dfrac 2{|x+1|},$$因此\[\begin{split}(x_1+1)(x_2+1)&=x_1x_2+x_1+x_2+1\\&=-(k-1)+k+1\\&=2>0,\end{split}\]因为点 $Q$ 在线段 $P_1P_2$ 上，所以 $x_1+1,x_2+1,x+1$ 同号，则$$\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac 1{x_2+1}=\dfrac 2{x+1}.$$因此，\[\begin{split}&x=2\dfrac{x_1x_2+x_1+x_2+1}{x_1+x_2+2}-1=\dfrac{2-k}{k+2},\cdots {\text{ ① }}\\ &y=k(x+1)-1=k\cdot \left(\dfrac{2-k}{k+2}+1\right)-1=\dfrac{3k-2}{k+2},\cdots {\text{ ② }}\end{split}\]由 ① 得 $k=\dfrac{2-2x}{x+1}$ 代入 ② 得$$y=\dfrac{3\times \dfrac{2-2x}{x+1}-2}{\dfrac{2-2x}{x+1}+2}=1-2x,$$即$$2x-y+1=0.$$又因为 $k>-2+2\sqrt 2$ 或 $k<-2-2\sqrt 2$，所以 $x=\dfrac{4}{k+2}-1$ 的取值范围是$$-\sqrt 2-1<x<\sqrt 2 -1\text{且} x\ne -1,$$因此点 $Q$ 的轨迹方程是 $2x-y+1=0(-\sqrt 2 -1<x<\sqrt 2 -1{\text{且}}x\ne -1)$．

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2

设 $Q$ 点坐标为 $(x,y)$，$P_1$ 点的坐标为 $(x_1,y_1)$，$P_2$ 点的坐标为 $(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=k,x_1x_2=-(k-1).$$又 $P_1,P_2,Q$ 都在直线 $l$ 上，所以有$$\begin{cases}y+1=k(x+1),\\y_1+1=k(x_1+1),\\y_2+1=k(x_2+1).\end{cases}$$由$$\dfrac 1{PP_1}+\dfrac 1{PP_2}=\dfrac 2{PQ}$$得\[\begin{split}&\dfrac 1{\sqrt{(x_1+1)^2+(y_1+1)^2}}+\dfrac 1{\sqrt{(x_2+1)^2+(y_2+1)^2}}\\=&\dfrac{2}{\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}},\end{split}\]化简得$$\dfrac 1{|x_1+1|}+\dfrac 1{|x_2+1|}=\dfrac 2{|x+1|},$$因此\[\begin{split}(x_1+1)(x_2+1)&=x_1x_2+x_1+x_2+1\\&=-(k-1)+k+1\\&=2>0,\end{split}\]因为点 $Q$ 在线段 $P_1P_2$ 上，所以 $x_1+1,x_2+1,x+1$ 同号，则$$\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac 1{x_2+1}=\dfrac 2{x+1}.$$因此，\[\begin{split}&x=2\dfrac{x_1x_2+x_1+x_2+1}{x_1+x_2+2}-1=\dfrac{2-k}{k+2},\cdots {\text{ ① }}\\ &y=k(x+1)-1=k\cdot \left(\dfrac{2-k}{k+2}+1\right)-1=\dfrac{3k-2}{k+2},\cdots {\text{ ② }}\end{split}\]由 ① 得 $k=\dfrac{2-2x}{x+1}$ 代入 ② 得$$y=\dfrac{3\times \dfrac{2-2x}{x+1}-2}{\dfrac{2-2x}{x+1}+2}=1-2x,$$即$$2x-y+1=0.$$又因为 $k>-2+2\sqrt 2$ 或 $k<-2-2\sqrt 2$，所以 $x=\dfrac{4}{k+2}-1$ 的取值范围是$$-\sqrt 2-1<x<\sqrt 2 -1\text{且} x\ne -1,$$因此点 $Q$ 的轨迹方程是 $2x-y+1=0(-\sqrt 2 -1<x<\sqrt 2 -1{\text{且}}x\ne -1)$．