已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，点 $F_1,F_2$ 分别为 $C$ 的左右焦点．$P$ 为 $C$ 右支上一点，且使 $\angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}{3}$，又 $\triangle {F_1}P{F_2}$ 的面积为 $3\sqrt 3 {a^2}$．
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
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求 $C$ 的离心率 $e$；标注答案$2$解析设 $\left| {P{F_1}} \right| = m$，$\left| {P{F_2}} \right| = n$，则$$\begin{cases}m-n=2a ,\\ \dfrac{1}{2}\sin 60^\circ mn = 3\sqrt 3 {a^2},\end{cases}$$即$$\begin{cases}m - n = 2a,\\mn = 12{a^2},\end{cases}$$根据余弦定理，得$${\left( {2c} \right)^2} = {\left| {{F_1}{F_2}} \right|^2}={m^2}+{n^2}-mn=16{a^2},$$于是 $e = \dfrac{c}{a} = 2$．
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设 $A$ 为 $C$ 的左顶点，$Q$ 为第一象限内 $C$ 上的任意一点，问是否存在常数 $\lambda(\lambda>0)$，使得 $\angle Q{F_2}A = \lambda \angle QA{F_2}$ 恒成立．若存在，求出 $\lambda $ 的值；若不存在，请说明理由．标注答案$2$解析双曲线方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{3{a^2}}} = 1$，即$${y^2} = 3\left( {{x^2} - {a^2}} \right),$$显然 $Q\left( {2a, 3a} \right)$ 是双曲线上一点，此时 $\lambda = 2$，于是若 $\lambda $ 存在，则其值只可能为 $2$．如图，
设 $Q\left( {{x_0}, {y_0}} \right)$，$MN$ 为 $AF_2$ 的垂直平分线，则 $A\left( { - a, 0} \right)$，$F_2\left( {2a, 0} \right)$，$M\left( {\dfrac{1}{2}a, 0} \right)$，于是$$\dfrac{{\left| {AN} \right|}}{{\left| {NQ} \right|}} = \dfrac{{{x_N} - {x_A}}}{{{x_Q} - {x_N}}} = \dfrac{{\frac{3}{2}a}}{{{x_0} - \frac{1}{2}a}} = \dfrac{{3a}}{{2{x_0} - a}}=\dfrac{{\left| {AF_2} \right|}}{{\left| {QF_2} \right|}}$$其中，${x_Q} > a$，$\left| {QF_2} \right| = e{x_0} - a = 2{x_0} - a$．
由 $\dfrac{{\left| {AN} \right|}}{{\left| {NQ} \right|}} = \dfrac{{\left| {AF_2} \right|}}{{\left| {QF_2} \right|}}$，所以 $NF$ 为 $\angle QF_2A$ 的平分线，因此，$$\angle QF_2A = 2\angle NF_2A = 2\angle QAF_2,$$因此，$\lambda $ 的值为 $2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
